施瓦茨不等式的证明

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1、2柯西－施瓦茨不等式的证明2.1柯西－施瓦茨不等式定理（柯西－施瓦茨不等式）若a1，a2，⋯，an和b1,b2,⋯,bn是任意实数，则k=1nakbk2≤k=1nak2k=1nbk2当且仅当存在一个实数x，使得bk=xak（k=1,2,…,）时，等号成立。2.2用数学归纳法证明柯西施瓦茨不等式当n=1时，左式=a1b12=a12b12，右式=a12b12显然左式=右式当n=2时，左式=a1b1+a2b22=a12b12+2a1b1a2b2+a22b22≤a12+a22b12+b22=a12b12+a

2、22b22+a22b12+a12b22=右式故有a1b1+a2b22≤a12+a22b12+b22,即k=12akbk2≤k=12ak2k=12bk2当且仅当a1b2=a2b1时等号成立。故n=1,2时不等式成立。假设当n=i时，不等式成立，即k=1iakbk2≤k=1iak2k=1ibk2当且仅当akbj=ajbk(k,j=1,2，⋯，i)时成立。那么当n=i+1时，k=1i+1ak2k=1i+1bk2=k=1iak2+ai+12k=1ibk2+bk+12=k=1iak2k=1ibk2+ai+12

3、k=1ibk2+bi+12k=1iak2+ai+12bi+12≥k=1iak2k=1ibk2+2ai+1bi+1k=1iak2k=1ibk2+ai+12bi+12≥k=1iakbk2+2ai+1bi+1k=1iakbk+ai+12bi+12=k=1i+1akbk2当且仅当当且仅当akbk=ajbjk,j=1,2,⋯,i且k=1iak2k=1ibk2=ai+12bi+12时成立。因为akbk=ajkj，故ak2bk2=aj2bj2=k=1iak2k=1ibk2(k,j=1,2,⋯,i)所以ak2bk2

4、=aj2bj2=ai+12bi+12（k,j=1,2,⋯,i）所以akbk=ajkj（k,j=1,2,⋯,i+1）综上所述，不等式k=1nakbk2≤k=1nak2k=1nbk2成立。2.3用向量法证明柯西－施瓦茨不等式设a=a1,a2,⋯,an,b=b1,b2,⋯,bn是两个n维向量，则a∙b=k=1nakbka=(a∙a)12=k=1nak212b=(b∙b)12=k=1nbk212因为a∙b=abcosθ≤ab所以k=1nakbk=k=1nak212k=1nbk212整理后得到k=1nakbk

5、2≤k=1nak2k=1nbk2由上可知，不等式k=1nakbk2≤k=1nak2k=1nbk2成立。2.4运用基本不等式证明柯西－施瓦茨不等式基本不等式：a∙b≤12a2+b2柯西－施瓦茨不等式：k=1nakbk2≤k=1nak2k=1nbk2，为简洁我们记A2=k=1nak2，B2=k=1nbk2，Sk=akbk(k=1,2⋯,n)则柯西－施瓦茨不等式变为A2B2≥k=1nSk2两边开平方再移向得S1+S2+⋯+SnAB≤1证明：S1AB=a1b1AB≤a1A2+b1B22,当且仅当a1A=b1

6、B,即a1b1=AB时等号成立；S2AB=a2b2AB≤a2A2+b2B22,当且仅当a2A=b2B,即a2b2=AB时等号成立；⋯⋯⋯⋯⋯⋯SnAB=anbnAB≤anA2+bnB22,当且仅当anA=bnB,即anbn=AB时等号成立；上述n式相加得S1+S2+⋯+SnAB≤S1AB+S2AB+⋯+SnAB≤k=1nak2A2+k=1nbk2B22=1+12=1由上式证得S1+S2+⋯+SnAB≤1综上所证得不等式k=1nakbk2≤k=1nak2k=1nbk2成立。