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1、柯西-施瓦茨不等式的应用与推广摘要：柯西—施瓦茨不等式,是数学学科中应用最为广泛的一类重要的不等式,它有不同的表现形式.本文给出了柯西—施瓦茨不等式的多种表现形式及其推广和多种在不同情形下的应用具体实例。关键词：柯西-施瓦茨不等式;推广;应用TheExtensionsandApplicationsofCauchy-SchwarzInequalityZhouKaibiao(CollegeofMathematicsandInformationScienceofNorthwestNormalUniversity,Gansu,Lanzhou,730070)Abstrac
2、t:Cauchy-Schwarzinequalityisanapplyingmostinequalityinmanysituationsofmathematicalscience.Ithasmanyextensions.ThepassageintroducesmanyCauchy-Schwarzinequalityexpressionsanditsextensionsandapplicationswhichareapplyingindifferentsituations.Keywords:Cauchy-Schwarzinequality;application;
3、extensionactivities柯西—施瓦茨不等式,又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式,是数学领域中应用最为广泛的一类的不等式,例如在线性代数的矢量,数学分析的无穷级数和乘积的积分,和概率论的方差和协方差中都有不同形式的表达形式.不等式以奥古斯丁·路易·柯西(AugustinLouisCauchy),赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(HermannAmandusSchwarz),和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基(ВикторЯковлевичБуняковский)命名.1.柯西-施瓦茨不等式的描述形式连续的形式柯西-施瓦茨不等式的描述如下
4、：若函数与在上可积,则.离散的的形式柯西-施瓦茨不等式的描述如下:若和是任意实数,则有.此外,如果有某个,则上式中的等号当且仅当存在一个实数使得对于每一个都有时成立.本文主要议论的是离散的描述形式.下面给出柯西——施瓦茨不等式的证明.证法1：考查二次函数,其中将函数解析式展开注意到,对恒成立,故方程的判别式,从而得当且仅当时等号成立,故得证.证法2：比较法证明.当且仅当等号成立,故得证.证法3：利用向量内积证明.设是与的夹角,由,所以当且仅当或时,等号成立.即与平行,时,等号成立.证法4：利用数学归纳法证明.1.当时,不等式成立.2.假设n=k时结论成立即有.当
5、时有而.即时,不等式成立.综合1和2得不等式成立.故得证.2.柯西——施瓦茨不等式的表现形式柯西——施瓦茨不等式的表现形式也有很多种.2.1代数形式设,则等号当且仅当或时成立.其代数形式有许多推论.推论1设则.推论2设,则.推论3若令.代入柯西-施瓦茨不等式代数形式得到下面的推论.推论4若,则当且仅当时成立.2.2几何形式2.2.1利用柯西-施瓦茨不等式证明二维空间平面内点到直线的距离公式.已知给定的直线,,点M（）.求证：点M到直线的距离为.证明：求点M到直线的距离就是求点M到直线上点的距离的最小值.点在直线上,有,又由,利用柯西——施瓦茨不等式得即得当且仅当
6、即PQ时等号成立.2.2.2利用柯西-施瓦茨不等式证明三维空间点到面的距离公式.已知给定的平面为,,点.求证:点到平面的距离为.证明略(在本文后面的应用举例中有此题的证明).2.3向量形式形式1.若令则上式可变成代数形式.由于柯西-施瓦茨不等式有这么多描述形式和表现形式,我们大致可以猜想到其应用举例也有很多方面.下面给出柯西-施瓦茨不等式的一些具体应用例子.4.柯西-施瓦茨不等式的应用举例:4.1用于证明不等式应用柯西-施瓦茨不等式来证明不等式.例1设三角形三边长分别为a,b,c.半周长为p.求证解:设记则(注:).由柯西-施瓦茨不等式得：故即得证.例2已知,证
7、明:证明:由已知得:.由柯西-施瓦茨不等式得,故即.得证.4.2用于求解最值问题利用柯西-施瓦茨不等式的等号与最值的密切关系来求最值问题.例3设实数a,b,c,d,e满足,且.试确定e的最大值.解:由已知得所以化简得:所以例4试确定方程组的一切实数解.解:由已知并根据柯西-施瓦茨不等式得:上式等号成立的充要条件是,代入（1）得x=y=z=1.显然这是（1）（2）的唯一解,经验证也是(3)的解.所以原方程组的惟一实数解是(1,1,1).指导教师预评评语指导教师职称预评成绩年月日答辩小组评审意见答辩小组评定成绩答辩委员会终评意见答辩委员会终评成绩答辩小组组长（签字）
8、：年月日答辩委员会主任（
