分解因式——十字相乘法

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1、十字相乘法因式分解授课人：郑泽栋系数为1的二次三项式知识回顾：我们学过的关于因式分解的方法有几种？试简要说明？解题中有遇见过疑惑吗？1.(x+2)(x+1)=x2+3x+23.(x-2)(x+1)=x2-x-24.(x-2)(x-1)=x2-3x+22.(x+2)(x-1)=x2+x-25.(x+2)(x+3)=x2+5x+66.(x+2)(x-3)=x2-x-67.(x-2)(x+3)=x2+x-68.(x-2)(x-3)=x2-5x+6(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab请直接口答计算结果：一般地，由整式乘法，常数项a、b之和，即为二次三项式的一次项系数a+b；常

2、数项a、b之积，即为二次三项式的常数项ab.即，形如(x＋a)与(x+b)这样的两个一次二项式，其相乘的最终结果，应该是一个二次三项式x2+(a+b)x+ab.其中，反过来得到：常数项ab可以看成a与b两个因数之积；这两个因数a与b的和刚好等于一次项的系数a+b.即，形如x2+(a+b)x+ab这样的二次三项式，我们可以对其进行分解因式，结果是(x＋a)(x+b).该类二次三项式，应符合如下特点：于是，其因式分解的结果，恰好是两个一次二项式(x＋a)与(x+b)的乘积的形式.即，一个二次三项式x2+px+q，如果能够把常数项q，分解成两个因数a、b的积ab，且使a+b等于一次项

3、的系数p，那么它就可以分解因式。下面介绍的方法，有助于帮助我们解决分拆的技巧。实际在运用上述公式进行分解因式时，需要把常数项和一次项系数进行分拆。即，xxabax＋bx=(a＋b)xx2ab解析：把x2分解成x·x，把q分解为a·b，并把x、x、a、b排列成如下的形式：交叉相乘后，ax＋bx=(a＋b)x，发现(a＋b)正好等于一次项系数p，所以x2+px+q=(x＋a)(x+b)利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.1.x2+8x+12=2.x2-11x-12=3.x2-7x+12=4.x2-4x-12=5.x2+13x+12=6.x2-x-12

4、=观察常数项有何区别？例1分解因式x+6x+82=(x+2)(x+4)xx244x+2x=6x解：x+6x+82变：分解因式x-6x+82解：x-6x+82=(x-2)(x-4)xx-2-4-4x-2x=-6x因式分解时常数项因数分解的一般规律：1.常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.1.x2+8x+12=练一练2.x2-7x+12=(x+2)(x+6)(x-3)(x-4)3.x2+13x+12=(x+1)(x+12)将下列各式因式分解:例2分解因式x+4x-212=(x-3)(x+7)xx-377x-3x=4x解:x+4x-212变：分解因式x-4

5、x-212解:x-4x-212=(x+3)(x-7)xx3-7-7x+3x=-4x2.常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同。规律：归纳与总结对二次三项式x2+px+q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法:拆分常数项,验证一次项.2．符号规律:当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.3．书写格式:竖分横积1.x2-11x-12=练一练2.x2-4x-12=(x-6)(x+2)(x-12)(x+1)3.x2-x-12=(x-4)(x+3)将下列各式因式分解

6、:现在动手试试看吧！！练习：因式分解(1)x2+7x+12(2)x2-5x+4(3)x2+2x-8(4)x2-2x-8(3)a2b2-ab-2=例3：因式分解(1)(a+b)2-4(a+b)+3=(2)x4+9x2+14=练习：因式分解(3)-x2+6x-16(4)x3-x2-6x例4：因式分解x2-3xy+2y2练习:因式分解x2-8xy+15y2问题1：如果给出式子是x2+（）x+12，为使式子仍然可以因式分解（在整数范围内），那么括号（）里应填什么数？开动你的脑筋问题2：为了式子x2+px-18可以因式分解（在整数范围内），p可以取哪些整数？试尽可能多地写出p的可能取值。

7、p可能取值的个数有什么规律？再问：请独立思考问题3：为了式子x2+7x+q可以因式分解（在整数范围内）q可以取哪些整数？试尽可能多地写出？p的可能取值。再问：q可能取值的个数有什么规律？想不出来就讨论一下吧！！小结：1.运用公式x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)必须同时备的三个条件：(1)二次项系数式是1的二次三项式(2)常数项是两个数之积(3)一次项系数是常数项的两个因数之和2.常数项因数分解的一般规律：(1)常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同。(2