高等数学证明题

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1、1.证明：函数在区间内至少存在一点，使。证明：在上连续，在内可导，且，由罗尔定理，至少存在一点，使，同理，至少存在一点，使得；在上连续，在内可导，再一次运用罗尔定理，至少存在一点，使得。2.设为上的二阶可导函数，,并存在一点，使得.证明至少存在一点，使得.(10分)证明：考虑区间，则在满足Lagrange中值定理的条件，则存在，使得.(3分)同理可证存在,使得.(5分)再考虑区间,由条件可知导函数在上满足Lagrange中值定理的条件，则存在，使得.得证.3.设在上连续,在上可导,且证明在内有证明在内有(2分)=(2分)=(2分)4.证明:当时,令当时,所以在上单调增(3分)又(即当时

2、,(3分)5.证明：当时，。答案：证：令，则　　　　　，　　　　　因为在连续，并且在内，因此在上单调增加，从而当时，。这就得到　　　　　。6.应用函数的单调性证明不等式：(8分)证明:令(2分)则在上连续，在上可导，且所以在严格单调递增，故(7分).即(8分)7.证明：设，证明函数f（x）=在（0，1）内至少有一个零点。（6分）证明：法一利用定积分：假设函数f（x）=在（0，1）上没有零点则因f（x）在[0，1]上连续，姑f（x）恒为正或负————（1分）从而由定积分性质得：=————（4分）为正或为负，这与假设矛盾。所以函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。#——（1分）法二利用

3、罗尔定理设F（x）=，则f（x）=——（2分）显然F（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且F（0）=F（1）=0故由罗尔定理知，在（0，1）内至少存在一点，使———（3分）即。因此，函数f（x）在（0，1）上至少有一个零点。#———（1分）8.证明：已知，且，证明证明：=----------------------4分=2----------------------3分=---------------------------3分9.若，求证：存在，使得证：因为在上连续，在(a,b)内可导，且（2分）,（3分）所以，由Rolle中值定理得到:f‘(x)在内至少有一个零点（4分）

4、，即至少存在一点c,使得10.证明:证：由微分中值定理得到：,在与之间（3分）所以（5分）（6分）11.设函数在上是连续函数,且令.求证：（1）；（2）在内有且仅有一个零点证：由微积分学基本定理得到：（1分）（2分）。因为，=；（3分）则由根的存在性定理得到：在内至少有一个零点（4分），由（1）知在上是单调上升，所以在内有且仅有一个零点（5分）12.设在[0，1]上可导，且。试证明在（0，1）内至少有一点，使。证明：设，则在[0，1]上可导，又由积分中值定理==（在（0，）内，从而由罗尔定理在（0，）内有使证毕。13.