线性代数_卢刚1-3章答案]

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1、第一章《线性代数》习题解答习题一（A）1.，，.2.由得.3.（1），.（2），为1997年和1998年各种油品的产量之和.，为1998年和1997年各种油品的产量之差.（3），为1997年和1998年各种油品的平均产量.4.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）14；（6）；（7）15.5.（1），，，，63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答，，，.由构成的图形如下：（2）当时，.仿（1）得由构成的图形如下：（由正方形逆时针旋转弧度得到）当时，.仿（1）得由构成的图形如下：63第63页共63页第一章《

2、线性代数》习题解答（由正方形顺时针旋转弧度得到）6.，.（1）北美欧洲非洲价值重量体积（2）.总价值总重量总体积7.（1）正确..（2）正确..（3）未必正确..8.（1）设与可交换的矩阵为，则由得.即.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答于是，.解之得.故与可交换的所有矩阵为，其中为任意常数.（2）设与可交换的矩阵为，则由得.即.于是故与可交换的所有矩阵为，其中为任意常数.注：待定系数法是解决此类问题的有效方法之一.9.证（1），与可交换.（2），与可交换.（3）.10.（1）.（2）令，则，.猜测

3、有如下结论：63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答.下面用数学归纳法证明：当时，结论显然成立；假设当时结论成立，则当时，，结论成立.综上知，.注：先根据的前若干项猜测其形式，再用数学归纳法加以证明是求矩阵的幂的常用方法之一.（3）注：务必牢记这个重要的结果！（4）（直接计算即可）令，则，，.（5）（直接计算即可）（6）令，则由直接计算知，，63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答，.猜测有如下结论：下面可利用数学归纳法加以证明，此处从略.11.的第行第列的元素为.的第行第列的元素为.的第行第列的元

4、素为.12.（1）.（2）.注：在矩阵论上称为矩阵多项式.矩阵与其矩阵多项式之间关系密切，将在后续章节陆续介绍.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答13.（1），.（2），.注：邻接矩阵（adjacentmatrix）的概念在运筹学（OperationsResearch）的一个重要分支－代数图论（AlgebraicGraphTheory）上有着重要的应用.15.（1）.（2）.（3）.（4）.注：矩阵的“迹”（trace）的概念，特别是矩阵的行列式，迹和特征值的关系：，（见第四章）是历年考研的热门考点

5、.16.（1）（直接计算）1.（2）（按任一行或列展开）12.（3）.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答（4）.（5）利用P22例6的结论.原.（7）利用P24例8Vandermonde行列式的结论.原.注：务必牢记Vandermonde行列式的重要结论！（8）原.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？17.（1）左.解得或.（2）直接按第一行展开.左.解得或.注：解行列式方程的问题可先计算相应的行列式，再解方程.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答..注：牢记结论：！63第63页共63页

6、第一章《线性代数》习题解答(4)原.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？.问：如此行列式扩展到阶，结果又如何呢？注：牢记结论：.（2）仿（1）的做法.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答（2）当时，原；当时，原；当时，原.（4）利用P22例6的结论.原.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答注：教材提供的参考答案与此稍有“不同”，这是因为.解得原方程的解为.解得原方程的解为.注：原行列式是阶的!23.（1）利用教材P22例5的结论.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答注：原行列式是

7、阶的!63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答注：教材P22例5的做法是常用且有效的计算行列式的方法.，，.（2），，63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答.25.（1）.26.，.27.（1）令，则，故可逆..（2）令，则，故不可逆.（3）令，则，故可逆..（4）令，则，故可逆.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答.注：伴随矩阵法仅在笔算求低阶矩阵的逆矩阵时较为方便.28.（1），.（2），.（3），.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答（4），.63第63页共63页第一章《

8、线性代数》习题解答注：也可以利用矩阵的初等列变换求矩阵的逆矩阵：.29.（1）..（3）.63第63页共63页第一章《线性代数》习题解答注：30和31两题的做法表明：设法得到等式是证明矩阵可逆或求的有效途径.32.（1）在两边同时取行列式得.可逆，，，故可逆，且.（2）.注：矩阵的伴随矩阵的有关性质是往年考研的热门考点.读者应格外注意如下重要的恒等式：，从它可导出的许多性质.34.，是