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《线性代数1-3章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、线性代数第一章行列式§1.n阶行列式的定义:D=det(aij)=t为p1p2...pn的逆序数；t1为q1q2...qn的逆序数.§2.行列式的性质：1)DT=D;2)3)kD等于k乘D的某1行(列);4)若D有2行(列)成比例，则D=0;5)可加性：6)§3.行列式按行(列)展开法则：D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj推论：ai1Aj1+ai2Aj2+...+ainAjn=0(i≠j);a1iA1j+a2iA2j+...+aniAnj=0(i≠j).§4.克莱姆法则：系数行列式D=则方程组有唯一的一组解：Dj=
2、第j列j=1,2,...,nxj=Dj/D,设线性方程组A1jA2jAnj克莱姆法则推论：设齐次线性方程组系数行列式D=则方程组只有唯一的一组零解：xj=0,j=1,2,...,n齐次线性方程组(1)只有零解充要条件为系数行列式D≠0.(1)例1求3次多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,使f(-1)=0,f(1)=4,f(2)=3,f(3)=16解：D==2.3.1.4.2.1=48≠0D2=0,D3=-240,D4=96,∴a0=336/48=7,a1=0,a2=-5,a3=2.∴f(x)=7-5x2+2x3Dn=x=yzP115/8(2)Dn=线性代数第二章矩阵§
3、1矩阵的定义定义：m×n个数排成的数表称为矩阵。记作A=[aij]m×naij为A的第i行第j列的元素。几种特殊的矩阵1)行矩阵：[a1,a2,...,an]2)列矩阵：3)零矩阵：4)n阶方阵：An=[aij]n×n5)对角阵：6)单位阵：§2矩阵的运算一、加法设A=[aij]m×n,B=[bij]m×n,则称A与B为同型矩阵.此时，若aij≡bij，i=1,2,...,m;j=1,2,...,n,则记为：A=B设A=[aij]m×n,B=[bij]m×n,定义:A+B=[aij+bij]m×n,如1)交换律：A+B=B+A;2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)运算律B的负
4、矩阵:－B=[-bij]m×n定义:A-B=A+(-B)=[aij-bij]m×n§2矩阵的运算(续1)二、数乘矩阵kA=Ak=[kaij]，如运算律1)结合律:(kl)A=k(lA)=l(kA)2)分配律:(k+l)A=kA+lA;k(A+B)=kA+kB.例1设且满足3X+2A=5B,求矩阵X.解：3X=5B-2A=§2矩阵的运算(续2)三、矩阵乘法设A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,定义：AB=[cij]m×ncij=ai1b1j+ai2b2j+...+aisbsj（即cij等于A的第i行与B的第j列对应元素积之和）例2计算下列乘法：1)2)3)4)=[5]一般，A
5、B≠BA§2矩阵的运算(续3)三、矩阵乘法运算律结合律:(AB)C=A(BC);分配律：(A+B)C=AC+BC;A(B+C)=AB+AC;k(AB)=(kA)B=A(kB)(k为数)；EmAm×n=Am×n,Am×nEn=Am×n;如OsmAmn=Osn,AmnOns=Oms.例3设求AB,AC.解：∴①由AB＝AC，且A≠0推不出B=C;②由AB＝０，推不出A=0，或B=0.§2矩阵的运算(续4)三、矩阵乘法方阵的幂设A为n阶方阵，k,l为非负整数，则定义:A0=En,A1=A,A2=AA,A3=A2A,...,Ak+1=AkA,运算律1)AkAl=Ak+l;2)(Ak)l=A
6、kl;§2矩阵的运算(续5)三、矩阵乘法方阵的幂例４求An,解：猜想：假设n≤k时成立，则n=k+1时，也成立.所以对一切自然数n成立.§2矩阵的运算(续6)三、矩阵乘法方阵的幂例５设A=P∧Q,求QP,A2n,A2n+1．其中解：ＱＰ＝A2n=(P∧Q)(P∧Q)...(P∧Q)=P∧2nQ=PEQ=A2n+1=A2nA=A=方阵的多项式设f(x)=a0+a1x+a2x2+...+akxk,A为方阵，则称f(A)=a0E+a1A+a2A2+...+akAk,为方阵A的k次多项式．§2矩阵的运算(续7)四、矩阵的转置用A＝[aij]m×n的第i行(列)作矩阵的第i列(行)，i=1,
7、2,...m.所得矩阵称为A的转置矩阵,记作AT．如运算律1)(AT)T=A;2)(A+B)T=AT+BT;3)(kA)T=kAT;4)(AB)T=BTAT.证：设A=[aij]m×s,B=[bij]s×n,则(AB)T=[cij]n×m，BTAT=[dij]n×mcij为AB的第j行i列元素，为A的第j行与B的第i列对应元素积之和；dij为BTAT的第i行j列元素，为BT的第i行与AT的第j列对应元素积之和；即dij是B的第i列与A的第j行对应元素积之和．∴cij≡
