线性代数解题方法和技巧

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1、线性代数解题方法和技巧第一部分行列式一、行列式的概念(1)二阶与三阶行列式的对角线法则(2)n阶行列式的定义(3)余子式、代数余子式的定义【测试题】四阶行列式中含有aa的项是__________1123二、数字型行列式的计算计算数字型行列式的常见思路有:(1)如果在行列式的某一行(列)中,零的个数比较多,可按该行(列)展开;(2)利用行列式的性质,将行列式某行(列)中尽可能多的元素化为零,然后再按该行(列)展开(课本P.18例7的第二种解法);(3)三角形法:利用行列式的性质,将给定的行列式化为上(下)三角形行列式(课本P.12例7、例8、例9);(4

2、)递推法或数学归纳法(课本P.15例11,P.18例12);(5)利用范德蒙行列式;(6)利用拉普拉斯定理(同济第五版的线性代数没有介绍该定理,不作为期末考试要求).【测试题】1.计算下列各行列式(D为k阶行列式):ka1(1)D=B,其中对角线上的元素都是a,未写出的元素都是0;n1axaa?ax?a(2)D=;n@@@aa?x-1-线性代数解题方法和技巧nnnaa(1−−)?()annn−−11n−1aa(1−−)?()an(3)Dn+1=@@@;aa−−1?an11?1abnnBAab11(4)D=,其中未写出的元素都是0.2ncd11ABcdn

3、n3521−1105−2.设D=,D的(,)ij元的余子式和代数余子式依次记作M和A,求ijij−13132413−−−AAAA+++及M+++MMM.1112131411213141ab001100ab223.四阶行列式D=的值等于__________400ba33ba0044(A)aaaa−bbbb;(B)aaaa+bbbb;1234123412341234(C)()aa−−bbaa()bb;(D)()aabbaabb−()−.1212343423231414三、抽象型行列式的计算【测试题】1.设α,,,,ααββ均为4维列向量,且已知4阶行列式1

4、2312αααβ,,,=m,ααβα,,,=n,12311223则4阶行列式αααββ,,,+=__________32112(A)mn+;(B)−+()mn;(C)nm−;(D)mn−.-2-线性代数解题方法和技巧aaa423aaaa−111213111112132.若Daaa==1,则Daaaa=423−=__________212223121212223aaa423aaaa−313233313132331−1**1−3.设A为3阶矩阵,A=,求:(1)(2)AA−3;(2)(3AA)−2.2T4.设A为n阶(实)矩阵,且满足AAE=.如果A<0,

5、求行列式A+E的值.n1111−15.设4阶矩阵A与B相似,A的特征值为,,,,求行列式B−E的值.2345四、行列式等于零的判定设A为n阶方阵,则与“A=0”等价的说法有:(1)A是奇异矩阵;(2)A是降秩矩阵,即R()An<;(3)n元齐次线性方程组Ax=0有非零解;(4)A的列(行)向量组中至少存在一个列(行)向量可以由其余n−1个列(行)向量线性表示;(5)A的列(行)向量组线性相关;(6)A至少有一个特征值等于零.【测试题】1.设A为n阶矩阵,且A=0,则下列各选项中正确的是__________(A)A中必有一列(行)的元素全等于零;(B)A

6、中必有两列(行)的元素对应成比例;(C)A的列(行)向量组中必有一个列(行)向量可以由其余的列(行)向量线性表示;(D)A的列(行)向量组中任意一个列(行)向量都可以由其余的列(行)向量线性表示.2.设A为mn×矩阵,B为nm×矩阵,则下列各选项中正确的是__________(A)当mn>时,必有行列式AB≠0;(B)当mn>时,必有行列式AB=0;(C)当nm>时,必有行列式AB≠0;(D)当nm>时,必有行列式AB=0.-3-线性代数解题方法和技巧第二部分矩阵一、矩阵的概念及运算1.矩阵的概念(方阵、行矩阵、列矩阵、同型矩阵、零矩阵、单位阵、对角阵

7、、对称阵、纯量阵、伴随矩阵、可逆矩阵、奇异矩阵、非奇异矩阵、满秩矩阵、降秩矩阵、正交阵等)2.矩阵的运算矩阵的加法数乘矩阵矩阵的乘法*矩阵的转置*方阵的幂方阵的行列式*说明:重点复习带*号的矩阵运算.3.行列式与矩阵的区别行列式矩阵2n个元素排成n行n列,定义数表按照一定的规则确定一个数值.矩阵的运算(§2.2,§2.3)运算用等号和行列式的性质矩阵的初等变换性质(§1.5)(§3.1,§3.2)用等号用“~”号联系方阵的行列式【测试题】1.设A和B均为n阶矩阵,k为正整数,则下列各选项中正确的是__________(可以多选)(A)A+=+BAB;(

8、B)AB=BA;−111−−(C)ABB=A;(D)()AB+=+AB;−−11−1−111−

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