线性代数解题基本规律和方法

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1、线性代数解题基本规律和方法线性代数是一门重要的基础理论课，作者在多年线性代数的教学中，发现初学者普遍感觉棘手的是求解线性代数的习题。因此，如何求解线性代数中繁难众多的题目是初学者逼切需要解决的问题。由于线性代数偏重于抽象思维和逻辑思维，理论性题目层出不穷，使得求解线性代数题目的方法也各具特色，不再仅仅是遵循“从结论入手进行思考”的简单解题规律了。尽管求解不同类型的题目，可能会用不同的方法，但目前普遍认为最基本的方法还是应该从结论上溯到条件。我们欲证明命题“T”，可先证明另一个与该命题等价的命题“T1”，要证命题“T1”，又可先证另一个等价的命题“T2”，如此下去，最后引出

2、的命题将是一个容易证明且与原命题等价的命题。这是一种“连续化显”的思维过程，以它为核心，可形成一套求解线性代数题目的基本规律。本章正是想通过介绍求解线性代数题目的一些基本规律和方法，提高读者的解题能力。以下分三个方面来谈。第一节、解题的基本规律　在本节中，通过几个实例来分析求解线性代数题目特殊的思维过程，得出相应的解题规律。例1若A是一个n×k矩阵，B是一个k×n矩阵，又知AB=O，证明：秩(A)+秩(B)≤k(6-1)证在证该题时，假定读者这样来思考：要证结论（6-1)式成立，能否先证一个与(6-1)式等价的结论呢?例如0≤k-(秩(A)+秩(B))。但是我们发现问题仍

3、无法求解，原因在于(6-1)式提供的信息太少，它没有足够多的特征使我们去确定另一个与之等价的过渡性结论。反之，原题的条件AB=O提供的信息相当丰富，它不仅看作两矩阵之积为O，而且更重要的是，如果把它与齐次线性方程组AX=O联系起来的话，有关齐次线性方程组的结论就可以用于该题目中，矩阵B的列向量可视为方程组AX=O的解。进一步，我们把方程组AX=O解空间的维数(k-秩(A))与矩阵B的列向量组的秩(也是B的秩)联系起来，原问题的条件化为另一个更接近结论的条件：B的向量全是方程组AX=O的解，但AX=O解空间的维数已知是(k-秩(A))　从而原问题转化为在新条件下证明(6-1

4、)式成立的新命题(过渡性命题)，该新命题是显然成立的，即秩(B)≤k-秩(A)。　证毕.在求解线性代数证明类题目时，思维过程常常应该是从条件和结论中挑选具有更多特征或提供更多信息的式子，通过一系列过渡性命题，最后转化为易于证明且与原命题等价的命题。本例是从原条件出发，一步步地转化为与结论更接近的过渡性条件，最后得到的条件与结论已发生直接的联系。我们称这种思维方式为“变形顺推”的思维方式。由此得出这样一条规律：当条件的特征或信息量优于结论时，往往应使用顺推的思维方式。　例2设A是正交矩阵，且｜A｜=-1，证明｜A+E｜=0证此例与前例的不同之点是条件和结论都含有较多的信息。

5、例如条件中A−1T是正交矩阵，隐含了A=A，于是1淘花/文库专用T−1｜A+E｜=｜A+E｜成立。结论｜A+E｜=0可转化为A(E+A)=0或−1A⋅E+A=0。因此欲证本题，只需证明｜A+E｜=-｜A+E｜即可。　从条件和−1T结论所提供的信息，已得到A+E=A⋅E+A=−E+A=−E+A，故｜A+E｜=0成立。　证毕　　在此例中，我们把条件和结论都进行了变形处理，将原来并无直接联系的条件和结论联系起来，使原命题转化为更易利用条件且结论更明显的命题。这种思维方式称为“等价变形”的思维方式。由此说明：当条件和结论均含较多特征或信息，且无直接的联系时，应考虑将条件或结论进行

6、变形处理，使之发生直接的联系。例3设向量α1,α2,α3线性无关，证明α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。　　证由线性无关的定义知道，要证本结论，只需证明：若存在实数k1,k2,k3使得　k(α+α)+k(α+α)+k(α+α)=0(6-2)112223331则必有k1=k2=k3=0　将(6-2)式化为　(k+k)α+(k+k)α+(k+k)α=0(6-3)131122233由于α1,α2,α3线性无关，得到齐次线性方程组：　k1+k3=0k1+k2=0(6-4)k+k=023要证k1=k2=k3=0，只需验证方程组(6-4)只有零解即可。经过简单的

7、计算知系数矩阵是非奇异的：101110=2011推知(6-4)确实只有零解，进而原命题成立。证毕　　在本例的求解过程中，多次出现欲证结论，先证另一个等价命题的思维方式。称这种思维方式为“变形逆推”的思维方式。注意到前面三例的解题过程有不少相似之处，它们都是在符合逻辑的前提下，利用原题目本身的特征或提供的信息，将原题目转化为一个比一个更为明确的新题目，直到利用到题给条件和某2淘花/文库专用些基础知识为止。称这种转化过程为“连续化显”的过程。从以上分析可见，求解线性代数题目的思维过程中存在着一条重要的基本规律：整个思维求解的过程通