大一高数(上)

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1、姓名:班级:学号:第一章函数、极限、连续(小结)一、函数1.邻域:以为中心的任何开区间;2.定义域:;.二、极限1.极限定义:(了解)若对于,,当时,有;Note:,,当时,有;Note:,,当时,有;Note:2.函数极限的计算(掌握)(1)定理:;(分段函数)(2)型:①约公因子,有理化;比如:,;②重要极限;③等价无穷小因式代换:,,,,型:先通分;比如:型:转化为无穷小;比如:型:重要极限;(3)无穷小量:无穷小无穷小=无穷小;无穷小有界量=无穷小8/8姓名:班级:学号:比如:(4)函数极限与无穷小的关系:(抽象函数)(5)微分中值定理:

2、;比如:(第3章)(6)罗必达法则:比如:(第3章)3.数列极限的计算:夹逼原则:积分定义:;;.(第五章)三、连续1.函数在点处连续:.一切初等函数在其定义域都是连续的.2.闭区间上函数连续的性质:最大最小值定理:若在上连续,则在上一定有最大、最小值.零点定理:设,且,至少有一点,使得介值定理:设,且,则对之间的任意常数,至少有一点,使得.四、间断点1.第一类间断点:、存在若,则称为可去间断点;若,则称为跳跃间断点;2.第二类间断点:、至少一个不存在若其中一个趋向,则称为无穷间断点;若其中一个为振荡,则称为振荡间断点;8/8姓名:班级:学号:第

3、二章导数与微分(小结)一、导数的概念1.Note:①该定义主要用于相关定理的分析与证明;②导函数求导公式:.2.分段函数在分段点处可导性判别:定理:在处可导在处即左可导,又右可导,.3.导数的几何意义:切线斜率,即当时,曲线在点处的切线、法线方程为:切线方程:;法线方程:二、导数的运算1.四则运算:;;;2.反函数求导:,互为反函数,则3.复合函数求导:,则.4.隐函数求导:两边关于求导,把看成是的函数.5.参数方程:则三、微分1.微分的概念:若有成立,记作:Note:,;2.微分在近似计算中的应用(1)近似计算.8/8姓名:班级:学号:第三章微

4、分中值定理及导数的应用一、微分中值定理1、罗尔(Rolle)中值定理:内至少存在一点,使得.Note:①证明导函数根的存在性.②证明原函数根的唯一性.2、拉格朗日中值定理:在内至少存在一点,使得.Note:①把用做代换,求极限.②由建立不等式,用于证明不等式.3、柯西中值定理:在内至少存在一点,使得:Note:用于说明洛必达法则.二、洛必达法则(1)可结合两个重要极限、等价无穷小代换,约公因子等方法灵活运用.(2)若,不为分式,可通过令:,创造分式.比如:三、函数图形的描绘(1)写定义域,研究的奇偶性、周期性;(2)求,;(3)令可疑极值点,可疑

5、拐点;(4)补充个别特殊点,求渐近线:,;(5)列表分析单调性、凹凸性、拐点、极值点;(6)画图五、最值的计算:(1)求在内的可疑极值点:8/8姓名:班级:学号:(2)最大值:特别的,(1)在上只有一个可疑极值点,若此点取得极大值,则也是最大值点.(2)在上单调时,最值必在端点处达到.(3)对应用问题,有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大值点或最小值点.第四章不定积分一、不定积分:,Note:①为积分常数不可丢!②③;.④几个常用的公式,,,二、换元积分法:1..Note:①常见凑微分:②适用于被积函数为两个函数相乘的情况,若被积函数为一

6、个函数,比如:,若被积函数多于两个,比如:,要分成两类;③一般选择“简单”“熟悉”的那个函数写成;④若被积函数为三角函数偶次方,降次;奇次方,拆项;8/8姓名:班级:学号:2.Note:常见代换类型:,,,,,,三、分部积分法:.Note:①按“反对幂指三”的顺序,谁在前谁为②要比容易计算;③适用于两个异名函数相乘的情况,若被积函数只有一个,比如:,();④多次使用分部积分法:三、有理函数的积分1.假分式=多项式+真分式;2.真分式=(拆成)若干部分分式之和;Note:拆项步骤:①将分母分解:②根据因式的情况将真分式拆成分式之和:3.逐项积分.注

7、:有时一个题目会用到几种积分方法,要将所有的方法灵活运用,融会贯通!第五章定积分一、定积分的概念及性质1.定义:,其中;2.几何意义:——曲边梯形面积8/8姓名:班级:学号:——曲边梯形面积的负值3.性质:(1),;(2)(3);(4);(5);(6)若在上,则;(7)设,则;(8)积分中值定理:,.4.变上限函数:Note:;5.牛顿—莱布尼茨公式:.一、定积分的计算1.换元积分:换元必须换限,无需变量回代,凑微分不必换限;2.分部积分:;3.若为奇函数,则;若为偶函数,则.4.广义积分:二、定积分的应用1.平面图形的面积8/8姓名:班级:学号

8、:直角坐标:推广:极坐标:2.曲线的弧长(1),(2),(3),3.已知平行截面面积函数为的立体体积:Note:特别的,当立体为曲线绕坐

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