信号系统第三章 傅立叶变换 (2)

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1、§3.7傅里叶变换的基本性质对称性质线性性质奇偶虚实性尺度变换性质时移特性频移特性微分性质时域积分性质意义傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；用性质求F(ω)；了解在通信系统领域中的应用。一．对称性质1．性质2．意义例0(1)δ(t)t02πδ(ω)ω01F(ω)t01F(t)t例：相移全通网络例0tt→ω,τ→ωcowtEtπ2-()wFtπ2二．线性性质1．性质2．上例三．奇偶虚实性在§3.4的“傅里叶变换的

2、表示”中曾介绍过。1、f(t)是实函数实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、奇函数若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数2、f(t)是虚函数虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇函数，但实部R(ω)为奇函数，虚部X(ω)为偶函数。令实部虚部由定义证明：可以得到任意f(t)，都具有如下性质四．尺度变换性质综合上述两种情况证明：因为意义(1)  01时域压缩，频域扩展a倍。(1)0

3、增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。（2）a>1时域压缩，频域扩展a倍。等效脉冲宽度与等效频带宽度等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比。五．时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换时移加尺度变换证明例:求图(a)所示三脉冲信号的频谱。解：因为脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。.

4、例：已知双Sa信号试求其频谱。令已知由时移特性得到从中可以得到幅度谱为双Sa信号的波形和频谱如图（d）（e）所示。方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换相同2．证明1．性质六．频移特性3．说明4．应用通信中调制与解调，频分复用。例：已知矩形调幅信号解：因为频谱图七．微分性质时域微分性质频域微分性质或1．时域微分注意时域微分性质证明即逆变换的定义注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。例：求三角函数的频谱密度函数．分析2．频域微分性质推广例如解：解：八．时域积分

5、性质也可以记作：时域积分性质证明变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为交换积分顺序，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换解：§3.8卷积特性（卷积定理）卷积定理卷积定理的应用一．卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。频域卷积定理时域卷积定理的证明因此所以卷积定义交换积分次序时移性质()()tttwddej21úûùêëé-=-¥¥-¥¥-òòttfft卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。求系统的响应。将时域求响应，转化为频域求响应。二．应

6、用用时域卷积定理求频谱密度函数。例：已知利用卷积定理求三角脉冲的频谱。可以把三角脉冲f(t)看作两个同样的矩形脉冲G(t)的卷积。根据卷积的定义可以得出矩形脉冲的宽度为矩形脉冲的幅度为E1则有tf(t)0EG(t)0tE10ωG(ω)0ωF(ω)矩形脉冲的频谱根据时域卷积定理把余弦脉冲f(t)看作矩形脉冲G(t)与无穷长余弦函数的乘积，其表达式为例：已知利用卷积定理求余弦脉冲的频谱。10t（π）0ω（π）E0tG(t)Eτ0ωG(ω)相乘tE0f(t)卷积0ωF(ω)根据卷积定理可以得到化简后得到余弦脉冲的频谱为

7、可以求得§3.9周期信号的傅里叶变换正弦信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换如何由F0(ω)求Fn单位冲激序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？引言由欧拉公式由频移性质一．正弦信号的傅里叶变换同理已知频谱图由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换(用定义)二．一般周期信号的傅里叶变换几点认识三．如何由求比较式(1),(2)四．周期单位冲激序列的傅里叶变换频谱五．周期矩形脉冲序列的傅氏变换单个脉冲的傅里叶变换F(ω)利用时域卷积定理§3.10抽

8、样信号的傅里叶变换时域抽样理想抽样矩形脉冲抽样频域抽样从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。周期信号抽样原理图：一．抽样满足：根据频域卷积定理二．理想抽样（周期单位冲激抽样）冲激抽样信号的频谱几点认识1．抽样信号三．矩形脉冲抽样E关系限带信号频谱结构四.频域抽样抽样后的频谱函数F1(ω)所对应的时域函数f1（t）与f（t）之间的关系