信号系统第三章 傅立叶变换 (1)

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1、第三章傅里叶变换§3.1引言频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数

2、的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法

3、的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。§3.2周期信号傅里叶级数分析三角函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数两种傅氏级数的关系频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系傅里叶有限级数一．三角函数形式的傅里叶级数是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=0,1,...由积分可知1.三角函数集()(){}tntn11sin,cosww在满足狄氏条件时，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系

4、数2．级数形式ò=+100d)(110TttttfTa()ò=+100dcos)(211TttnttntfTaw()ò=+100dsin)(211TttnttntfTbw狄氏（Dirichlet）条件条件3:在一周期内，信号绝对可积。条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。例1不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。例2不满足条件2的一个函数是对此函数，

5、其周期为1，有在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值，因为例3周期信号，周期为1，不满足此条件。其他形式余弦形式正弦形式00ac=nnncajcos=22nnnbac+=øöççèæ-=nnnabarctanjnnncbjsin-=00ad=22nnnbad+=øöççèæ=nnnabarctanqnnndaqsin=nnndbqcos=周期信号频谱具有离散性/谐波性、收敛性，唯一性。关系曲线称为幅度频谱图；幅度谱关系曲线称为相位频谱图。相位谱幅度频率特性和相位频率特性cn0ω1c2c3c1c0

6、3ω1ωnω1φnπ0ω13ω1nω1ωw~ncwj~n二．指数函数形式的傅里叶级数1．复指数正交函数集2．级数形式3．系数利用复变函数的正交特性()4e)()(1j1tnnnFtfwwå¥-¥==说明()4e)()(1j1tnnnFtfwwå¥-¥==()()5de)(1110j11ò=-TtnttfTnFww三．两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式ò=-110j11de)(1)(TtnttfTnFww()()ò-ò=11011011dsin)(1jdcos)(1TTttntfTttntfTww()nnbaj21-=()()ò+ò=-110110111d

7、sin)(1jdcos)(1)(TTttntfTttntfTnFwww()nnbaj21+=相频特性幅频特性和相频特性幅频特性nnncbanF2121)(221=+=wøöççèæ-=nnnabarctanj频谱图幅度频谱相位频谱离散谱，谱线1ww13wnc0c1c3cO1w13wwpnjO曲线或ww~~nnFc曲线wj~n请画出其幅度谱和相位谱。例化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的傅里叶级数的谱系数øöçèæ++-+=4π2cos)π15.0cos(51)(11tttfww1ww1c0c2c12wO24.211nc12wπ25.0π15.0-O

8、1wwnj化为指数形式整理指数形式的傅里叶级数的系数