高考数学 平面几何例讲解答竞赛

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1、平面几何例讲解答基本内容：五心性质；共点线与共线点；共圆点；托勒密定理；西摩松定理；斯特瓦特定理；面积方法；几何变换；根轴与反演。1、如图，四边形中，，自对角线的交点，作于，线段交于，交于，是线段上的任意一点.证明：点到线段的距离等于到线段、的距离之和.证：易知，四边形共圆，共圆，因此，.即平分；又由共圆，得，即平分.设于，于，于，过点作，交于，交于；过点作，交于，交于；再作于于，则由平行线及角平分线的性质得，.为证，只要证.由平行线的比例性质得，，因此，由于与的对应边平行，且平分，故是的平分线.从而，即所证结论成立.2、在中，,内心为，内切圆在边上的切点分别为、

2、,设是关于点的对称点，是关于点的对称点.求证：四点共圆.证：设直线交的外接圆于点，易知是的中点。记的中点为，则．设点在直线上的射影为，由于则半周长，于是，11又，所以∽，且相似比为2，熟知；。又∽，所以，即是的中点进而，，所以都在以为圆心的同一个圆周上．3、如图，△中，分别是边上的点，在的延长线上分别取点，使；点分别是△，△的垂心.证明：.证：如图，设线段的中点分别为，则也是的中点，据中位线知，在△中，∥，；在△中，∥，，即∥，，所以△:△，且∥，.为证，只要证.以为圆心，为直径作，其半径记为；以为圆心，为直径作，其半径记为，设直线交于，交于，由于点是△的垂心，则

3、，，所以共圆，故有……另一方面，由于可知，在上，在上，从而，因此化为，11即……又设直线交于，交于，由于点是△的垂心，，则，，所以共圆，故有……再由可知，在上，在上，从而，因此化为，即……据、得，，所以，而∥，所以.4、如图，⊙O1、⊙O2、⊙O3分别外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三个圆还分别与△ABC的两条边相切.求证：三条直线AA1、BB1、CC1相交于一点.证明：设及分别是四个圆的圆心，其半径分别为与，的内切圆半径为，显然，为的三条内角平分线，故相交于其内心.设（定值）.记，，对于，因为⊙O与的切点在连心线上，点在的延长线上，则直线必与线段相交，其交点设

4、为.同理可设，直线.只须证重合.直线截于，由梅尼劳斯定理，，即同理有,以及11易知，所以，从而，故，所以，，因此共点，即交于一点.5、四边形内接于，，是的切线（为切点）；证明：三线共点．证明：以为基本线，设，，只要证，共点；因为，，只要证，，即要证，；因为∽,∽,∽,∽,故分别得到，，，，；所以，因此结论得证．6、四边形内接于，，，是的切线（为切点）；证明：11（）四点共线；（）是的垂心．证明：（）、据上题，三点共线，只要证，点在上，以为基本线，且设；则，；只要证，，即要证，，即．因为∽,∽,∽,∽,则，，，；相乘得，，故结论得证．（）因是的切线，则垂直平分，而四

5、点共线，则，据的对称性，有（因为，若自引的切线，类似可得，共线，垂直平分，所以）；因此，点为的垂心．（同时，点也是的垂心）．7、中，是角平分线上的任一点，分别是延长线上的点，且∥，∥；若分别是的中点；证明：．证：如图，延长，分别与交于，注意关于顶点的等高性及等角性，由面积比定理，，（记号11表示面积），所以……①又由∥，∥，得，，所以……②，由①、②得，即……③．取的中点，据中位线知，∥,,∥,．由③，，作角分线，则，因∥，∥，所以其角分线∥，因，得．8、已知、分别是的外接圆和内切圆；证明：过上的任意一点，都可作一个三角形，使得、分别是的外接圆和内切圆．证：如图，

6、设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，则，，延长交于；则，即；过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切；设，则是的中点，连，则，，，所以，由于在角的平分线上，因此点是的内心，（这是由于，，而11，所以，点是的内心）．即弦与相切．9、如图，四边形内接于，而与外切于点，且都内切于，若对角线分别是、的内、外公切线；证明：点是的内心．证：先证引理：若内切于，的弦切于，延长交于，则是的中点，且．　如图，作两圆的公切线，因是的切线，则，而¡¡，所以，即是的中点，又由:，得到．回到本题，设，分别切于，切于，据引理知直线过的中点，则，而，，所以，故在，的根轴上，即在

7、内公切线上，所以与重合，即是的中点，故平分；又由，得，于是，即，而，所以，因此平分，从而是的内心．10、锐角三角形中，，在边上分别有动点，试确定，当取得最小值时的面积．解：对于任一个内接，暂将固定，而让在上移动，设的中点为，则由中线长公式，，因此在固定后，欲使11取得最小值，当使达最小，但是为上的定点，则当时，达最小，再对作同样的讨论，可知，当取得最小值时，的三条中线必定垂直于三角形的相应边；今设重心为，面积为，的面积为，则……由于分别共圆，则，故由，，同除以，得，所以，……，又由，即，所以，因而．（其中）11、如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与

8、内心，若，