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1、§4二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式返回三、二重积分的广义极坐标变换二、二重积分的极坐标变换一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中,我们得到了如下结论:设在区间上连续,当从变到时严格单调地从a变到b,且连续可导,则当(即)时,记则利用这些记号,公式(1)又可写成当(即)时,(1)式可写成故当为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可统一写成如下的形式:下面要把公式(4)推广到二重积分的场合.为此先给出下面的引理.引理设变换将uv平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域,一对一地映成xy平面上的闭区域D.函数在内分别具
2、有一阶连续偏导数且它们的函数行列式则区域D的面积(5)证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明.(注:对具有一阶连续偏导数条件下的一般证明,将在本章§9中给出.)由于T是一对一变换,且因而T把的内点变为D的内点,所以的按段光滑边界曲线也变换为D的按段光滑边界曲线.设曲线的参数方程为由于按段光滑,因此在上至多除去有限个第一类间断点外,在其他的点上都连续.又因所以的参数方程为若规定从变到时,对应于的正向,则根据格林公式,取有另一方面,在uv平面上其中正号及负号分别由从变到时,是对应于的正方向或负方向所决定.由(6)及(7)式得到令在
3、uv平面上对上式应用格林公式,得到由于函数具有二阶连续偏导数,即有因此于是又因为总是非负的,而在上不为零且连续,故其函数值在上不变号,所以定理21.13设在有界闭区域D上可积,变换将uv平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成xy平面上的闭区域D,函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式证用曲线网把分成n个小区域,在变换T作用下,区域D也相应地被分成n个小区域.记及的面积为及在对y的则有其中令则作二重积分的积分和加强条件下,由引理及二重积分中值定理,有这个和式是可积函数的分割的细度时,D的相应分割的细度也趋于零.因
4、此得到在上的积分和.又由变换T的连续性可知,当例1求其中D是由解为了简化被积函数,令所围的区域(图21-23).即作变换它的函数行列式为在T的作用下,区域D的如图21-24所示.原象所以例2求抛物线和直线所围区域D的面积解D的面积为了化简积分区域,作变换它把xy平面上的区域D(见图21-25)对应到uv平面上的矩形由于因此例3设上可积,是由曲线所围成的区域在第一象限中的部分.证明:证令则因此二、二重积分的极坐标变换当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数的形式为时,采用极坐标变换(8)往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此
5、时,变换T的函数行列式为容易知道,极坐标变换T把平面上的矩形此对应不是一对一的,例如,xy平面上原点于平面上两条直线段CD和EF(图21-26).又当时,因此不满足定理21.13的条件.但是仍然有下面的结论.变换成xy平面上的圆域但与平面上直线相对应,x轴上线段对应定理21.14设满足定理21.13的条件,且在极坐标变换(8)下,平面上的有界闭域D与平面上区域对应,则成立证若为的扇形后所得的区域(图21-26(a)),则(图21-26(b)).又因在与之间是一一对应的设除去中心角在变换(8)下,对应于且上于是由定理21.13,有因
6、在D上有界,故可设于是由同理又有若D是一般的有界闭域,则取足够大的使即得所以,对(10)式取极限在中函数F至多在有限条按段光滑曲线上间断,因此由前述得到其中为平面上矩形区域由函数的定义,(9)式对一般的D也成立.上定义函数并且在由定理21.14看到,用极坐标变换计算二重积分时,除变量作相应的替换外,还须把“面积微元”换成下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.1.常用的是将分解为平面中的型区域.(i)若原点则型区域必可表示成(图21-27)于是有(ii)若原点为D的内点(图21-28(a)),D的边界的极坐标方程为则一
7、般可表示成于是有(iii)若原点在D的边界上(图21-28(b)),则为:于是有2.也可将分解为平面中的型区域(图21-29).(1)令(2)作半径为的圆穿过D,按逆时针方向首先由边界曲线穿入,而后由边界曲线穿出.则有例4对积分作极坐标变换,并表示为不同次序的累次积分,其中(见图21-30(a))解经过极坐标变换后,可分解为二个型区域:(a)(b)又可分解为四个型区域(见图21-30(b)):于是其中例5计算其中D为圆域:解由于原点为D的内点,故由(12)式,有例6求球体被圆柱面所割下部分的体积(称为维维安尼(Viviani)体)
8、.解由所求立体的对称性(图21-31),只要求出在第一卦限内的部分体积,再乘以4,即得所求立体的体(图21-32),而曲顶的方程为所以后,由(13)式便可求得xy平面内由和所确定的区域D积.在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体,其底为其中用极坐标变换例
