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时间：2018-12-01
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1、二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分§4二重积分的变量变换7/5/20211满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3)变换定理21.13变换:是一一对应的,一、二重积分的变量变换公式7/5/20212则7/5/20213证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为则7/5/20214同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为7/5/20215因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:例如,直角坐标转化为极坐标时,7/5/20216例1.计算
2、其中D是x=0,y=0,x+y=1所围区域.解则令7/5/202177/5/20218例2.求抛物线y2=mx,y2=nx和直线所围区域D的面积.解令7/5/20219当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数含有x2+y2时，采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算.此时,二、用极坐标计算二重积分7/5/202110则(ii)若原点在D内，则(i)若原点在D外，7/5/202111(iii)若原点在D的边界上，(iv)若区域D可表示为则7/5/202112例3.计算其中7/5/202113例4.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解由对称性可知7/5/202114
3、例5.计算其中解的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于坐标计算.作极坐标系变换，有7/5/202115例6.求椭球体解:由对称性令则的体积V.7/5/202116
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