二重积分的变量变换

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1、§4二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式,并用格林公式加以证明.特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的极坐标变换一、二重积分的极坐标变换当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数的形式为22f(xy)时,采用极坐标变换xrcos,T:0r,02π,(8)yrsin,往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时,cosrsinJ(r,)r.sinrcos容易知道,极坐标变换T把r平面上的矩形[0,R]222[0,2]变换成xy平面上的圆域D:xyR.但此对应不是一对一的,例如,xy平面上原点

2、O(0,0)与r平面上直线r0相对应,x轴上线段AA对应于r平面上两条直线段CD和EF(图21-26).又当r0时,J(r,)0,因此不满足定理21.13的条件.但是仍然有下面的结论.yEF22AAOxDBBCDORr(a)(b)图2126定理21.14设f(x,y)满足定理21.13的条件,且在极坐标变换(8)下,xy平面上的有界闭域D与r平面上区域对应,则成立f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd.(9)D由定理21.14看到,用极坐标变换计算二重积分时,除变量作相应的替换外,还须把“面积微元”dx

3、dy换成rdrd.下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.1.常用的是将分解为r平面中的型区域.(i)若原点OD,则型区域必可表示成(图21-27)r()rr(),,12于是有rr()2rr()1DOx图2127r()2f(x,y)dxdydr()f(rcos,rsin)rdr.(11)1D(ii)若原点为D的内点(图21-28(a)),D的边界的极坐标方程为rr(),则一般可表示成0rr(),02.于是有2r()f(x,y)dxdy0d0f(rcos,rsin

4、)rdr.D(12)yyrr()rr()DDOxOx(a)(b)图2128(iii)若原点在D的边界上(图21-28(b)),则为:0rr(),,于是有r()f(x,y)dxdyd0f(rcos,rsin)rdr.(13)D例1计算dI,22D1xy22其中D为圆域:xy1.解由于原点为D的内点,故由(12)式,有d2π1r220d02drD1xy1r2π12π1r2dd2π.000222222例2求球体xyzR被圆柱面xyRx所割下部分的体

5、积(称为维维安尼(Viviani)体).解由所求立体的对称性(图21-31),只要求出在第一卦限内的部分体积,再乘以4,即得所求立体的体zyrRcosyDOxRx图2131图2132积.在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体,其底为22xy平面内由y0和xyRx所确定的区域D222(图21-32),而曲顶的方程为zRxy.所以222V4Rxyd,D22其中D(x,y)y0,xyRx.用极坐标变换后,由(13)式便可求得2Rcos22432V4dRrrdrR.0032322(xy)例3计算Ied,其

6、中D为圆域:D222xyR.解利用极坐标变换,由公式(12),容易求得2R22rRIdredr(1e).00若不用极坐标变换,而直接在直角坐标系下化为累2y次积分计算,则会遇到无法算出edy的难题.