高中数学如何由数列的递推公式求通项公式练习新课标人教A 版必修4

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1、如何利用构造法转化递推公式对于由递推式确定数列通向公式的问题，一般对递推式进行变形化成等差数列或等比数列，也可通过构造法把问题转化，主要有以下几种类型（1）等差型数列，，常常利用累加法求解（2）等比型数列，，常常利用累乘法求解（3）线性递推式，常常把原递推式转化为，其中，再利用换元法转化为等比数列求解（4）三项递推式，一般先把原递推式转化为，其中满足，从而构造新求解例已知数列中，求的通项公式解：令比较系数得所以以及有以上两式得所以数列的通项公式是构造法递推式是，可利用待定系数法构造一个新的等比数列求解。例、已知数列，满足，证明：解：由得令，则

2、有（）设，则,与（）式比较，得，所以，因此数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，故可转化为类型三求通项（1）“对数法”转化类型三递推式为，两边取常用对数，得，令则有，转化为类型三例已知数列中，，求解：由，两边取对数得。令则因此数列是首项为，公比为2的等比数列，故，即，因此数列（2）“倒数法”转化为类型三递推式为商的形式：若b=0,得，因为，所以两边取倒数得，令，则转化为类型三例已知，求数列的通项公式若，设，与已知递推式比较得x,y令得，转化为b=0的情况例在数列中，已知，求通项解：设，则，结合已知递推式得，则有，令，则，两边取倒数得，即，

3、因此数列是首项为，公比为的等比数列，故从而可求得“待定系数法”解递推数列若b=1,则数列是等差数列；若c=0,b,则数列是等比数列；若是呢？1、拓展1、当数列成等差数列时。若b=1，则，这实质上成为“泛等差”数列，因此用“累加相消法”即可解决，即那么b且是呢？事实上，是等差数列故c(n)也可以以像c一样分解：设，则A=，且成等比数列。例、已知，求解：设，则,故,对恒成立，得故成等比数列，从而可求1、拓展可化为以上类型的数列高次型：，若c=1,则可视为“泛等比”数列，“累乘相约”即可：若c>1,则关键是将次，取对数，化简得，用待定系数法可解（5

4、）、含与的递推公式；，一般利用与消去或与消去进行求解例、已知数列的前n项和求数列的通项解：方法一：消用作差法…………………①………………②①-②得又故是首项，公比q=3的等比数列故方法二：消用代入法故数列是首项为公比q=3的等比数列所以为等比数列