高中数学《立体几何中的向量方法》同步练习2 新人教A版选修2-1

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1、第三章空间向量与立体几何一、选择题1.下列各组向量中不平行的是()A.B.C.D.2.已知点,则点关于轴对称的点的坐标为()A.B.C.D.3.若向量,且与的夹角余弦为,则等于()A.B.C.或D.或4.若A,B,C,则△ABC的形状是()A.不等边锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形5.若A,B,当取最小值时,的值等于()A.B.C.D.6.空间四边形中,,,则<>的值是()A.B.C.-D.二、填空题1.若向量,则__________________。2.若向量,则这两个向量

2、的位置关系是___________。3.已知向量,若,则______;若则______。4.已知向量若则实数______,_______。5.若,且,则与的夹角为____________。6.若,,是平面内的三点,设平面的法向量,则________________。7.已知空间四边形,点分别为的中点,且,用,,表示,则=_______________。8.已知正方体的棱长是,则直线与间的距离为。空间向量与立体几何解答题精选(选修2--1)1.已知四棱锥的底面为直角梯形,,底面,且,,是的中点。(

3、Ⅰ)证明:面面;(Ⅱ)求与所成的角;(Ⅲ)求面与面所成二面角的大小。证明:以为坐标原点长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为.(Ⅰ)证明:因由题设知,且与是平面内的两条相交直线,由此得面.又在面上,故面⊥面.(Ⅱ)解:因(Ⅲ)解:在上取一点,则存在使要使为所求二面角的平面角.2.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,平面底面.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求面与面所成的二面角的大小.证明:以为坐标原点,建立如图所示的坐标图系.(Ⅰ)证明:不防设作,则,,由得,又,因而与平面内两条

4、相交直线,都垂直.∴平面.(Ⅱ)解:设为中点,则,由因此,是所求二面角的平面角,解得所求二面角的大小为3.如图,在四棱锥中,底面为矩形,侧棱底面,,,,为的中点.(Ⅰ)求直线与所成角的余弦值;(Ⅱ)在侧面内找一点,使面,并求出点到和的距离.解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为、、、、、,从而设的夹角为,则∴与所成角的余弦值为.(Ⅱ)由于点在侧面内,故可设点坐标为,则,由面可得,∴即点的坐标为,从而点到和的距离分别为.4.如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中.

5、(Ⅰ)求的长;(Ⅱ)求点到平面的距离.解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则,设.∵为平行四边形,(II)设为平面的法向量,的夹角为,则∴到平面的距离为5.如图,在长方体,中,,点在棱上移动.(1)证明:;(2)当为的中点时,求点到面的距离;(3)等于何值时,二面角的大小为.解:以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则(1)(2)因为为的中点,则,从而,,设平面的法向量为,则也即,得,从而,所以点到平面的距离为(3)设平面的法向量,∴由令,∴依题意∴(不合,舍去),.∴时,二面

6、角的大小为.6.如图,在三棱柱中,侧面,为棱上异于的一点,,已知,求:(Ⅰ)异面直线与的距离;(Ⅱ)二面角的平面角的正切值.解:(I)以为原点,、分别为轴建立空间直角坐标系.由于,在三棱柱中有,设又侧面,故.因此是异面直线的公垂线,则,故异面直线的距离为.(II)由已知有故二面角的平面角的大小为向量的夹角.7.如图,在四棱锥中,底面为矩形,底面,是上一点,.已知求(Ⅰ)异面直线与的距离;(Ⅱ)二面角的大小.解:(Ⅰ)以为原点,、、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设由,即由,又,故是异面直线

7、与的公垂线,易得,故异面直线,的距离为.(Ⅱ)作,可设.由得即作于,设,则由,又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.第三章空间向量一、选择题1.D而零向量与任何向量都平行2.A关于某轴对称,则某坐标不变,其余全部改变3.C4.A,,得为锐角;,得为锐角;,得为锐角;所以为锐角三角形5.C,当时,取最小值6.D二、填空题1.,2.垂直3.若,则;若,则4.5.6.7.8.设则,而另可设,

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