《立体几何中的向量方法》同步练习7（新人教A版选修2-1）

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1、立体几何中的向量方法课下练兵场命题报告度及题号知识点容易题（题号）中等题（题号）稍难题（题号）利用空间向量证明平行、垂直问题111利用空间向量求异面直线所成角、线面角.2、34、6、78利用空间向量求二面角510>129一、选择题1•若直线/的方向向量为“,平面a的法向量为/n能使/〃。的是（）A・a=（l,0,0）,m=（-2,0,0）B.a=（l,3,5）,舁=（1,0,1）C・a=（0,2,l）,〃=（一1,0,-1）D・a=（l,一1,3）,w=（0,3,1）解析：若/〃a,则a-n=0.而A中“•〃=—2,B中aw=l+5=6,C中aw=—1,只有D选项中«7/=—3+3=0

2、.答案:D82.若向量”=（1,x,2）,方=（2,—1,2）,且“与b的夹角余弦值为g,则2等于（）22A.2B.—2C.—2或看D.2或一召解析：cos=i^j=丽命=器久=一2或务答案：c3.在正方体ABCD-AxBxCxDx中，M为。卩的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱力/

3、上任意一点，则直线OP与直线所成的角是（）B*4D2解析：（特殊位置法）将P点取为作OE丄力D于E,连接/iiE,则力为O/i在平面/Di内的射影，又力M丄NiE,:.AM丄041,即力M与OP成90。角.或建系利用向量法.答案:D4.(2009-全国卷II)已知正四棱柱ABCD-A^B^C^

4、中，AAi=2ABf£为44】中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为3帧*10解析：如图连结AXB,则有AB//CD,ZAiBE就是异面直线〃E与Cd所成角，设则A{E=AE=1,・•・BE=V2,AiB=42.由余弦定理可知:cosZ/liBE=2+5-12近丘3V1010答案：C5.(2009-滨州棋拟)在正方体ABCD-A迅d中，点E为的中点，则平面AXED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为D.*解析：以力为原点建系，设棱长为1・则力1(0,0,1),£(1,0,

5、),0(0,1,0),・••丽=(0,1,-1),AVE=(1,0,设平面的法向量为«1=(1,几Z)J

6、—Z=O,5=(1,2,2),•・•平面ABCD的一个法向量为/12=(0,0,1)・22cos〈〃1,〃2〉=3X]=亍2即所成的锐二面角的余弦值为亍答案：B6.(2009-浙江高考)在三棱柱ABC-A.B,C】中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB^C的中心，则与平面BBiCiC所成角的大小是()A・30。B.45°C・60°D・90。解析：如图，取BQ中点£,连结DE、4E、AD,依题意知三棱柱为正三棱柱，易得ME丄平面BB、CC,故ZADE为AD与平面BBXCXC所成的角•设各棱长为1,则AE=^,1AE2DE=q,tanZ/Z/f——]=寸3,2:.ZADE=60°

7、.答案:c二、填空题7・长方体ABCD-AtBiCtDi中，AB=AAX=29AD=lfE为CC】的中点，则异面直线BG与AE所成角的余弦值为•解析：建立坐标系如图，则^(1,0,0),£(0,2,1),3(1,2,0),G(0,2,2),万可=(一1,0,2),AE{=(-1,2,1),cos〈BCyUAE〉_BC.O4E~BCX~AE答案:108.正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD,则直线BC与平面所成的角是解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O刃忆设OD=SO=OA=OB=OC=a,贝!)力(偽0,0),〃(0,偽0),a2",P

8、(o,巧),则CA=(2a,0,0),AP=(—a,f,f),CB=(“，“,0),设平面刃C的法向量为〃，可求得n=(0,l,l),则^血’"〉=議二话・•・=60°,・・・直线BC与平面P4C所成的角为90°-60°=30°答案:30°9.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2:3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为・解析：设一个侧面面积为$,底面面积为S,则这个侧面在底面上射影的面积为春由*c23»c1题设得设侧面与底面所成二面角为则COS〃=£=〒£=刁・・・〃=60。・答案：60°三、解答题10.(2009-包头棋拟)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩

9、形，侧面刃Q是正三角形，且侧面刖。丄底面ABCD,E为侧棱PD的中点.(1)求证：P3〃平面E4C；(2)若AD=AB9试求二面角A-PC-D的正切值.解：法一：(1)证明：连接BD交/C于点O,连接OE,在中，OE//PB,又OEU平面AECf平面/EC,故PB〃平面(2)设AD=AB=PD=PA=af•・•侧面以Z)丄底面ABCD,又CD丄ADf・・・CD丄侧面PAD,:.AE丄DC,又为正三角形，且E为PD中点，:.AE丄PD故AE丄平面