高三数学解题方法谈：数学结合思想应用指南

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1、数学结合思想应用指南　　数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式综合起来加以考察的思想．恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系．”“数”和“形”是数学中两个最基本的对象，它们既是对立的，又是统一的．每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来．在解决代数问题时，想到它的图形，可以启发思维，找到解题之路；在研究图形时，利用代数的性质，解决几何的问题．实现抽象概念与

2、具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观．那么，如何能更好的应用数形结合思想呢？我们要注意做到以下几点．　　一、善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系　　观察是人们认识客观事物的开始，直观是图形的基本特征，观察图形的形状、大小和位置关系，并在此基础上揭示图形中蕴含的数量关系，是掌握数形结合思想的重要步骤．　　例1　函数的图象的一条对称轴方程是（　　）．　　（A）　（B）　（C）（D）　　解析：对函数的图象做深入的观察，可知，若直线通过这一曲线的一个最高点或最低点，则它必为曲线的一条对称轴．因此，解这个问题可以分别将代入函数的解析式，易得时，

3、．故选（C）．　　注意：要善于观察图形，发现基本性质．如本题若不能很好的掌握函数的图象性质，而机械的画出函数的图象及其对称轴，虽然也可以做对，但却浪费了宝贵的时间．　　二、正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系　　观察图形，借助图形来解决某些问题时，既要定性也要定量，仅画图示“意”是不够的，还必须反映出图形中相应的数量关系．　　例2　问：圆上到直线的距离为的点共有（　　）．　　（A）1个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个　　解析：到定直线的距离为的点的轨迹是平行于的两条直线．因此，问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数．　　将圆的

4、方程变形为：，知其圆心是，半径，而圆心到定直线的距离为，由此判定平行于直线且距离为的两条直线中，一条通过圆心，另一条与圆相切，所以这两条直线与圆共有3个交点（如图1）．故选（C）．　　注意：正确绘制图形，一定要注意把图形与计算结合起来，只有所画示意图准确，才能充分发挥图形的判定作用．　　三、以图识性，切实把握“数”与“形”的对应关系　　数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，沟通两者之间的联系，才能把握住每一个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形的特征之间的联系，以求相辅相成，相互转化．　　例3　如图2，液体从一圆锥形漏斗注

5、入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟注完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下降的高度，则与下落时间（分）的函数关系用图象表示只可能是（　　）．　　解析：由于圆柱中液面上升的速度是一个常量，所以与的关系不是（B）中所示，下落时间越大，液面下降的高度应越大，这种变化趋势应是越来越快，图象应当是下凸的，所以只可能是（D）．　　四、灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维的灵活性和创造性　　借助于函数的图象或方程的曲线，引入不等式（或方程）的图象，可以有效地审清题意，简化求解过程，并检验所得的结果．　　在中学数学中，数形结

6、合的思想体现的最充分的内容是解析几何．此外，函数与图象之间，复数与几何之间的相互转化也充分体现了数形结合的思想．　　例4　已知直线和双曲线只有一个公共点，则k的不同取值有（　　）．　　（A）1个　　（B）2个　　（C）3个　　（D）4个　　解析：如图3，的图象是过定点的直线系，双曲线的渐近线方程为．　　故过点且和渐近线平行的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值．此外，过点且和双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点，此时取两个不同的值，故正确答案为（D）．