北京大峪中学高三数学组石玉海

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1、第三章导数二导数的应用3.7函数的极值单调性与导数有何关系?设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数；如果f′(x)=0，则f(x)为常数函数；B(04全国卷Ⅱ理10)函数在下面哪个区间内是增函数（）A．B．C．D．如:复习:yxOaby=f(x)x1f(x1)x2f(x2)x3f(x3)x4f(x4)函数y=f(x)在点x1、x2、x3、x4处的函数值f(x1)、f(x2)、f(x3)、f(x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?观

2、察图像：一、函数的极值定义一般的，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)；◆函数的极大值与极小值统称为极值.(极值即峰谷处的值------不一定最大或最小）使函数取得极值的点x0称为极值点yxO观察与思考：极值与导数有何关系？在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。aby=f(x)x1f(x1

3、)=0x2f(x2)=0x3f(x3)=0x4f(x5)=0x5f(x)<0yxOx1aby=f(x)在极大值点附近在极小值点附近f(x)<0f(x)>0f(x)>01、如果在x0附近的左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则f(x0)是极大值；2、如果在x0附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则f(x0)是极小值；已知函数f(x)在点x0处是连续的，则二、判断函数极值的方法x2导数为0的点不一定是极值点；极值点处的导数不一定是存在的；若极值点处的导数存在，则一定为0注意：函数极值是在某一点附近

4、的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为。①可导函数必有极值；②函数在极值点必有定义；③函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）；④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。②例1求函数的极值。x(-∞，-2）-2(-2，2）2(2，+∞）y′+0－0+y极大值28/3极小值-4/3解：定义域为R，y′=x2-4由y′=0可得x=-2或x=2当x变化时，y′,y的变化

5、情况如下表：因此，当x=-2时，y极大值=28/3当x=2时，y极小值=－4/3看图象求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f’(x)；(3)求方程f’(x）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格检查f’(x)在方程根左右的符号——如果左正右负（+~-），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（-~+），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；例2求函数y=(x2-1)3+1的极值。x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y′－0－0+0+y无极值极小值0无极值

6、解：定义域为R，y′=6x(x2-1)2。由y′=0可得x1=-1,x2=0，x3=1当x变化时，y′,y的变化情况如下表：因此，当x=0时，y极小值=0点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。例3已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取得极大值7；当x=3时取得极小值，求这个极小值及a、b、c的值。布置练习作业：P130习题3.7---1；2.求函数f(x)=x+2sinx在区间[0,2π]内的极值。