从常见问题中体会数学转化

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1、从常见问题中体会数学转化我们在解决问题时，常把复杂的、生疏的、抽象的、困难的，未知的问题变成简单的、具体的、容易的、已知的问题來解决，这种思想就是转化思想，转化即是种思想，又是一种策略，也是一种解题良方。1、正与反的转化解答某个问题时，若按习惯从“正面进攻”很难奏效或运算较繁，则可考虑从相反的方面与探求，攻其反面成功便易使问题得到解决。例1：（2005年全国卷II）在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数学的以位数中，不能被5整除的数共有。分析：以前我们常做过能被5整除的这类排列组合题，那么我们还是按照以前做过的题的方法先求出能被5整除的数的个数，再

2、求出所有的四位数的个数，最后相减就得到答案了。解析：由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，共有勺•农=300（个），其中能被5整除的四位数有&+£盂=108（个），所以不能被5整除的数有300-108=192（个）。点评：这个题直接由正而入手解决也不难，但是把不熟悉的问题转化为熟悉的问题做起来会更得心应手。2、主与次转化利用主元与参变量的关系，就参变量为主元，常常可以简化问题的解决。例2：已知=gb、C£R）,则有（）5aA、b2>4acB、b'24acC、b2<4acD、b'W4ac分析：解该题的一般方法为先化简，再换元，然后利用不等式性质解题

3、，易出错。如果在做该题时，从计与“4必”联系二次方程的“△”，则该题就能突破思维定式，将“5”与f看作主元，a、b、c为其系数就很容易解决问题了。解析：=>45h-c=5ana(>/5)2-Z?(>/5)4-c=0则方程+加+c=0冇根x=亦，可知其“△”必大于或等于0,选B。3、一般与特殊的转化例3：设等比数列的正比为⑴，前儿项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，贝归值为。解析：当面临的问题由一般性难以解决时，可以考虑从特殊性来解决。该题是填空题，不妨考虑在特殊情况下来解的值，取n二1时，S2、Si、S3也成为差数列，易知q=-2或q=o(含)

4、，需注意，用特殊法特别要注意漏根的情况。4、等与不等转化等与不等的转化主要体现在化不等为相等及化相等为不等，在等与不等转化过程中，基本不等式，出数的性质常常是联系等与不等的纽带，是等与不等矛盾差异的内在联系。例4：若正数a、b满足ab二a+b+3,则ab的取值范值是。分析：由ab二a+b+3中解出b,代入ab中，二元转为一元。解析：由如a+b+3,得b=:・ab=a+3Q(q〉1)a-a-=+—+5^2J(a-1)-—+5=9a-1Va-当a=3时取等号，.•.ab£(9、)分析：运用均值不等式定理°+於2临转化为不等式。解析：・・5、b为正数，:・c

5、i+bNlJ^/.或-1（舍）Aab^9・・・ab的范围为（9、）5、整体与局部的转化整体与局部转化是将所求的问题的整体分解或若干个局部或将各个局部整合在一起，这样做旨在化难为易，最终口的还是积零为整。=那么/（1）+/（2）+/（丄）+/（3）+/（丄）+/（4）+/（丄）例5：已知函数1+兀2234+/（5）+/（）二・解析：直接求出各函数值，再求各，可以求出结果，但运算量大，作为填空题也划不来。注意到所求代数式的特点，应考虑：/（%）+/（丄）二？X解析：/（尢）+/（丄）二产斗=1X1+兀1.11+XX+17易知所求式雋点评：该题从局部特征入手，从而

6、解决整体问题。6、动静转化动静转化是解题的重要策略之一，它包括“化静为动”与“化动为静”两个方面，适时地进行动静转换，常会收到奇妙的效果。例6：对于抛物线戸=4兀上任意一点&,如果点P（g、O）,满足P02d,则a的取值范围是0分析：点&是抛物线上的动点，点P是X轴上的定点，而求。的取值范围时,又考虑到点P的可动性，把d看成是不等式的未知量加以求解。解析:设次竺，y）,y£R,则岡斗I等价于不等式（―丄y2）2+y2纹2,x42即y2（y2+16-8a）a^—+2,对任意实数yl成立,所以qW2。8