微积分复习_6051_2702_20131128205354

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1、一、微分方程部分内容复习以解法为中心一阶容易--------------------------高阶困难线性容易--------------------------非线性困难一、一阶方程的解法：中心想法是化为分离变量型方程1。分离变量型方程：解法：它已包含最简单类型：解法：第14页共14页2。齐次方程：解法：令则3。可化为齐次的方程：情形1：平面直线与重合，即第14页共14页，则方程为，解为：情形2：平面直线与平行，即，则令有，已是分离变量型方程。情形3：平面直线与相交，即，解方程组得唯一交点。做变换，方程变为，这是齐次方程。4。一阶线性方程：第14页共14页解法一：常数

2、变异法先解齐次方程这是分离变量型的：，常数变异：设原方程解为可得所以解法二：公式法5。伯努力方程：若为线性方程；若，则，令，则第14页共14页，此已为线性方程。6。方程中可作相同地位看待，即也要会一阶线性方程：伯努力方程：二、二阶非线性方程的解法：中心想法是降阶1。型只需连续做次不定积分。2。（不显含型）令，则，此为一阶方程。3。（不显含型）令，则，此为一阶方程。一、二阶线性方程的解法：第14页共14页对应齐次方程为：解的结构：非齐通=非齐特+齐通。此次的通解是一个二维线性空间，若找到其两个线性无关的解，则齐次的通解为。进一步，可用常数变异法设得到非齐次的通解。甚至只要知

3、道一个齐次的非零解，就可用常数变异法令得到非齐次的通解。但是找一个齐次的非零解没有一般办法。三、常系数二阶线性方程：的代数解法。齐次常系数二阶线性方程：的特征方程解法特征方程为：情形一：两个相异实根。通解为：第14页共14页情形二：实二重根。通解为：情形三：一对共轭复根。通解为：常系数非齐次二阶线性方程：的特解的待定函数法。注：若为的解，为的解，则为的解。1。若，其中为次多项式，则可设特解，其中为一个待定次多项式，为作为特征方程根的重数。2。若，则可设特解，其中为两个待定次多项式，,为作为特征方程根的重数。第14页共14页四、欧拉方程：是罕见的可解的变系数线性方程之一。解

4、法：做变换，则，原方程化为这已是常系数二阶线性方程。典型题型1．求微分方程满足条件的解。答案：2．微分方程的一个特解应具有形式（A）（B）（C）（D）3．求微分方程的通解。特征方程的根为：对应齐次方程通解为第14页共14页设特解为，代入方程得所求通解为4．曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且曲线过点，求此曲线的方程。答案：5．解方程6．求微分方程的通解。原方程变为第14页共14页解得：7．设函数是二阶连续可微的偶函数，且满足方程，求函数。原方程关于求导得由于是偶函数，有，且方程的通解为代入条件及是偶函数，得故所求函数为8．质量为的质点作直线运动，从速度等于零时

5、起，有与时间成正比（比例系数为）的力作用其上，并还受到与速度成正比的介质（比例系数为）的介质的阻力，求速度的变化规律。解得第14页共14页由，得得二、广义积分部分敛散性靠计算，计算为定积分加极限。当时收敛，当时发散。当时收敛，当时发散。一、中值定理与罗毕达法则部分第14页共14页罗尔定理：设满足：（1）闭区间上连续；（2）开区间上可导；（3）两端点函数值相等，。则在中至少存在一点满足。可连续运用罗尔定理。第14页共14页第14页共14页第14页共14页