7.1 预备知识 1

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1、第七章多元函数微积分前面所阐述的是一元函数的微积分,在实际应用中通常会遇到多个变量的函数,即多元函数.例:矩形面积Sxy,其中x,y分别为矩形的长与宽;则面积S依赖于两个变量x,y,即面积S为二元函数.例:立方体体积Vxyz,其中x,y,z分别为立方体的长、宽、高;则体积V依赖于三个变量x,y,z,即体积V为三元函数.7.1、预备知识一、空间直角坐标系数轴(直线坐标系):在直线上规定了原点、正方向、单位长度.1o1直线上的点与实数之间建立了一一对应关系.y1x平面直角坐标系:o1平面上的点与有序数组(x,y)之间建立了一一对应关系

2、.平面上的曲线与方程F(x,y)0相对应.例:方程yx0与直线相对应.2例:方程yx0与抛物线相对应.22例:方程xy10与圆周相对应.空间直角坐标系:空间中的点与三元有序数组(x,y,z)之间建立了一一对应关系.空间中的曲面与三元方程F(x,y,z)0相对应;空间中的曲线可以看成两个曲面的交线,F1(x,y,z)0因此空间曲线与两个三元方程组相对应.F(x,y,z)021.空间直角坐标系的建立在空间任取一点O,过点O作三条相互垂直的数轴Ox,Oy,Oz.各轴的方向按右手规则确定.右手规则:以右手握住z轴，让

3、右手的四指从x轴的正向沿着小于180度的方向转向y轴的正向，那么大拇指所指的方向就是z轴的正向.右手规则:先使右手的拇指、食指、中指互相垂直，如果将右手的拇指和食指分别指着Ox,Oy轴正方向,则中指所指的方向与Oz轴的正方向相同.各轴上再规定一个共同的长度单位,则我们建立了一个空间直角坐标系,记为Oxyz,如图:z1o1y1x其中点O称为坐标系的原点,Ox,Oy,Oz都称为坐标轴,分别称为x轴,y轴,z轴;由每两条坐标轴所确定的平面都称为坐标平面,按照坐标平面所含的坐标轴,分别称为xOy平面,yOz平面,zOx平面.这3个平面将空间分成

4、8个部分,称为8个卦限,如图.2.空间中的点与三元有序数组的对应设点P是空间中任意一点,过点P作垂直与xOy平面的直线,交xOy平面于点P,xy连接O点与P点,过点P作直线平行于OP必交Oz轴于一点,记为P,如图.xyxyz再过点P在xOy平面上分别作垂直于Ox轴,Oy轴xy的直线分别交Ox轴于P点,交Oy轴于P点.xy设点P,P,P在Ox轴,Oy轴,Oz轴上的坐标分别为x,y,z.xyz000z则分别称x,y,z为点P的x坐标,y坐标,z坐标,000Pz而称点P的坐标为(x,y,z),记为P(x,y,z).P000000PoyyPxP

5、xyx这样,在空间直角坐标系Oxyz中,空间中任意一点P按上述方式唯一确定一个三元有序数组(x,y,z).000反之,任意给定一个三元有序数组(x,y,z),在空间中必有唯一确定000的点P与之对应.于是空间中的点与任意三元有序数组(x,y,z)之间建立了一一对应关系.000按照上述空间点的坐标定义知:zPz坐标原点O的坐标为(0,0,0);POx轴、Oy轴、Oz轴上的点坐标Poy分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z);yPxPxyxOy平面、yOz平面、zOx平面上点的坐标x分别为(x,y,0),(0,y,z),(x,0

6、,z).二、空间直角坐标系中的向量空间中两点间的距离公式设P(x,y,z),P(x,y,z)为空间直角坐标系中的任意两点,11112222则点P与P之间的距离公式为:12zP2222PP(xx)(yy)(zz).12212121z2P1证:由图形可以看出:z1yPP为长方体的对角线的长度.12y2该长方体的三条边长y1分别为:xx,yy,zz.212121oxxx12222PP(xx)(yy)(zz).12212121三、空间曲面与方程1.(空间)平面方程z平面的一般方程:AxByCzD0cxyz

7、平面的截距式方程:1(a,b,c0),abc其中a,b,c分别为平面在x轴,y轴,z轴上的截距.obyxa2.空间直线的方程A1xB1yC1zD10直线的一般方程:AxByCzD022223.空间曲面、空间曲线方程在空间直角坐标系Oxyz下,空间中的任意曲面S都是点的几何轨迹.凡是位于该曲面S上的点的坐标(x,y,z)都要满足一个三元方程F(x,y,z)0.反之,任何满足方程F(x,y,z)0的有序数组(x,y,z)一定为曲面S上某个点的坐标.称方程F(x,y,z)0为曲面S的方程,而曲面S的几何图形

8、称为方程F(x,y,z)0的图形.例:求以P(x,y,z)为中心,以R为半径的球面S的方程.0000解:设P(x,y,z)为球面S上任意一点,则PPR.0由空间两点间的距离公式知:z222(xx0)