千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第58炼数学归纳法

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1、第58炼数学归纳法一、基础知识：1、数学归纳法适用的范I韦I：关于正整数〃的命题(例如数列，不等式，整除问题等)，则可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n=k成立，再结合其它条件去证n=k+成立即可。证明的步骤如下：(1)归纳验证：验证n=7?0("o是满足条件的最小整数)时，命题成立(2)归纳假设：假设n=k(k>n.,neN)成立，证明当n=k+1时，命题也成立(3)归纳结论：得到结论：n>7?0,/?GN时，命题均成立3、第一归纳法要注意的地方：(1)数学归纳法所证命题不一定从n=l开始成立，可从任意一

2、个正整数他开始，此时归纳验证从n-开始(2)归纳假设中，要注意k",保证递推的连续性(3)归纳假设中的n=k，命题成立，是证明n=k+1命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找n=k+1与n=k的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n=k命题成立时，可用的条件只有n=k,而不能默认其它n

3、小整数)时，命题成立(2)归纳假设：假设nn{vneN)成立，证明当n=k+1时，命题也成立(3)归纳结论：得到结论：n>7?0,7?gN时，命题均成立二、典型例题例1：己知等比数列仏”｝的首项a,=2,公比q=3,设S”是它的前〃项和，求证:S”+iv3斤+1~n思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：3">2/?+1,n=k时，不等式为3*n2k+1；当n=k+1时，所证不等式为3*"n2k+3,可明显看到n=k5n=k+1中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明a.(qn-\3,,+

4、-13/?+

5、1证明：S”二一=3"-1,所证不等式为：-——<巳二wq-3〃-1n/.A2(3w+,-l)<(3/?+l)(3?,-l)〃5斤・3'屮+3"—3斤一1O3"n2〃+1,下面用数学归纳法证明：(1)验证：72=1时，左边=右边，不等式成立(2)假设n=k(k»,kwN)时，不等式成立，则n=k+1时，3⑷=3・3"»3(2£+1)=6£+3>2伙+1)+1所以n=k^时，不等式成立/.Vz?gAT,均有弘§却±1snn小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证n=k+1与条件n=k之间的联系，一旦找到联系，则数学

6、归纳法即可使用例2(2015,和平模拟)：己知数列｛色｝满足an>0,其前〃项和S”>1,且S”=£(Q“+l)a+2)*M(1)求数列｛色｝的通项公式(1、(2)设bn=log,1+一，并记你为数列｛bn｝的前n项和，求证：Az丿解：(1)6Sn=a；+3an+2①65w_,=+3an_{+2(h>2,z?gV)②①一②可得：6an=an~尤一］+3®-3仏］=>3(陽+色_J=尤-尤_1•・•an>0所以两边同除以atl+%」可得：an-an_}=3:.{a,}是公差为3的等差数列・•・an=ax+3(〃-1),在6Sn=a；

7、+3an+2中令〃=1可得:6S

8、=a；+3®+2=>a〕二1(舍)或q=2(2)思路：利用(1)可求出仇和7；，从而简化不等式可得:3h3"—1丿V3/?+2>2若直接证明则需要进行放缩，难度较大。而如果选择数学归纳法证明，则目标相对明确，难度较小。/解：由(1)可得：bn=log21+i3n=log^•••瓷=勺+优+…+hn=log2363〃、253n-,所证不等式为：31og2363n}<253n-l>O10g2263n、3n-,263n、<2*5•…3n-L33/1+2>下面用数学归纳法证明:(3Y5275当”=1时，

9、不等式为->-=>—>-成立⑵282假设当n=k(k>VkeN*)时成立，则n=k+1时,3k3£+3丫32-13k+2丿(3J3k、33k-)"3比+3丫13k+2丿3£+22V£+3丫=(3R+3)'⑶+2丿一2(3比+2『所以只需证:册>竽即可，尝试进行等价变形:(3£+3)‘2(3£+2)2>0Qk+3)'>Qk+2)2Qk+5)o27疋+8U2+8K+27>21k3+8Ik2Tn=10§23/2—1丿所证不等式为：37；?>log2

10、^^LG/V*I2丿例3：设数列｛d讣的前〃项和为S「满足Sfl=2nan^-3n2-4

11、n.neNKS3=15(1)求d］卫2卫3(2)求数列｛①｝的通项公式解：(1)在S“=2血”+1-4〃中，”=1时，有aA=2a2-772=2时，S°=Q]+。2=4°3—20,另有S3=Q]+。2+。3=15=2a2一7a2=4