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《千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第34炼 向量的模长问题几何法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第五章第34炼向䟿的模长问题——几何法向䟿第34炼向量的模长问题——几何法一ǃ基础知识˖rr1ǃ向䟿和差的几何意义˖已知向䟿ab,，则ᴹ˖rrrrrrrr˄1˅若ab,共起点，则利用ᒣ行四边形法则求ab+，可得ab+是以ab,为邻边的ᒣ行四边形的对角线rrrrrrrr˄2˅若ab,首尾相接，则利用й角形法则求出ab+，可得ab+，ab,围成一个й角形r2ǃ向䟿数乘的几何意义˖对于λarrrrr˄1˅共线˄ᒣ行˅特点˖λa与a为共线向䟿，其中λ>0时，λa与a同向˗λ<0时，λar与a反向rr˄2˅模长关系˖λa=λ⋅a3ǃ与向䟿模长问题相关的定理˖˄1˅й角形中的相
2、关定理˖设ABCй个内角ABC,,所对的边为abc,,abcķ↓弦定理˖==sinAsinBsinC222ĸ余弦定理˖a=b+c−2bccosA˄2˅菱形˖对角线垂直ᒣ分，且为内角的角ᒣ分线o特别的，对于底角60的菱形，其中一条对角线将↔菱形分割为两个全等的等边й角形DŽ˄3˅矩形˖若四边形ABCD的ᒣ行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4ǃ利用几何法求模长的条件˖条件中的向䟿运算可构成特殊的几何图形，且所求向䟿与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长二ǃ典型例题˖rro例1˖˄2015届北京市重点中学高й8ᴸ开学测试数学试卷˅已
3、知向䟿ab,的夹角为45，rrrr且a=1,2ab−=10，则b=˄˅A.2B.2C.22D.32思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如с图形：可知第五章第34炼向䟿的模长问题——几何法向䟿πAB=2,B=,AC=10，只需利用余弦定理求出BC即可。4r222解˖如图可得˖b=BC，在ABC中，ᴹ˖AC=AB+BC−2ABBCcosB2π即˖10=+4BC−⋅22BC⋅cos42⇒BC−22BC−=60解得BC=32或BC=−2˄舍˅r所以b=32，答案˖选Drrrrrrrrr例2˖若ᒣ面向䟿abc,,两两所成的角相等，且a=b=1,c=3，则a++b
4、c等于˄˅A.2B.5C.2或5D.2或5rrrrrr思路：首先由abc,,两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是abc,,同向δ如图1，rrr2πrr↚时夹角均为0ε，则a++bc为5，另一种情况为两两夹角δ如图2ε，以a=b=13rrrrrrro为突破口，由平行四边形法则作图得到a+b与ab,夹角相等，a+b=a=1δ底角为60rrrr的菱形性质ε，且与c反向，进而由图得到a++bc=2，选C答案˖Crrrrrr例3˖已知向䟿ab,，且a=1,b=2，则2b−a的取值范围是˄˅A.[1,3]B.[2,4]C.[3,5]D.[4,6]rrrr思路：先作出a，即
5、有向线段AB，考虑2ba−，将2b的起点与A重合，终点C绕A旋转rrrrr且AC=2b=4，则2b−a即为BC的长度，通过观察可得C与AB,共线时2b−a达rrrrrrrr到最值。所以2b−a=5,2b−a=3，且2b−a连续变化，所以2b−a的取值范maxmin第五章第34炼向䟿的模长问题——几何法向䟿围是[3,5]答案˖Crrrrrrrr例4˖设ab,是两个非零向䟿，且a=b=a+b=2，则a−b=_______rrrrrrrr思路：可知aba,,+b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由a=b=a+b=2可知o满足条件的只能是底角为60，边长a=2的菱形，从而
6、可求出另一条对角线的长度为3a=23答案˖23rrrrrrπrrrπa例5˖已知ab,为ᒣ面向䟿，若a+b与a的夹角为，a+b与b的夹角为，则r=˄˅34b3656A.B.C.D.3433rrrr思路：可知a+bab,,为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在ABD中，rrππAB=aAD,=b,∠ABD=,∠ADB=，由↙弦定理34πrABsinADBsin46a6可得：===，即r=ADsinABDπ3b3sin3答案˖Drrrrπrrrrr例6˖已知ab,是单位向䟿，且ab,的夹角为，若向䟿c满足
7、c−+a2
8、2b=，则
9、
10、c的3最大值
11、为˄˅A.2+3B.2−3C.7+2D.7−2rruurr思路：本题已知ab,模长且夹角特殊，通过作图可得2ba−为模长为3，设第五章第34炼向䟿的模长问题——几何法向䟿urrrrurrurrruruurrm=+c(2b−a)，则可得m=2且c=m−(2b−a)，而m可视为以2ba−共起点，终点rur在以起点为圆心，2为半径的圆р。通过数形结合可得c的最大值为2+3δ↚时m的终点位于A点ε答案˖Aπuuuruuur例7˖在ABC中，∠=B,AB=33,BC=6，设D是AB的中点，O是ABC所6uuuruuuruuurruuur在ᒣ面内的一点，且3OA+2OB
