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《华中师范数学分析第十一章反常积分复习自测题2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第十一章反常积分复习自测题一、体会各类反常积分(无穷积分、瑕积分和混合反常积分)的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题：1、正确地判断下列反常积分的敛散性：f+81fa「+8](1)I—dr(G>0)；(2)[—dx(G>0)；(3)I—ck(o>0)。JaJ0XPJ0兀〃2、正确地判斷下列反常积分的敛散性：(1)dx(a>1x(lnx)p3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值:(1)Ir+81rIIk
2、如⑵匚市如⑶二戸如⑷4、用定义据理说明下面的关系：(反常积分的牛顿一莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征)(1)若函数/(X)在S,+oo)上连续，F(x)为/(X)在S，+oo)上的原函数，记F(+oo)=limf(x),则无穷积分J+8/(x)cLx收敛oF(+oo)=lim/(兀)存在，且XT+oo2jf{x)dx=F(%)—oo(2)若函数/(x)在(-co,+oo)上连续，F(x)为/(x)在(-oo,+oo)上的原函数，记F(+oo)=limf(x),F(—8)=lim/(x
3、),.YT+«>片f+8则无穷积分［/(x)dx收敛u>F(+oo)=lim/(x)和F(-oo)=lim/(x)都存在，且J一8XT+ooxt—oo4-00fMdx=F(x)a(3)若函数/(x)和g(x)都在a+°°)上连续可微，且limf(x)g(x)存在，则无穷积分f(x)gx)dx收敛ofx)g(x)dx收敛，且p+8+oor+8L/賊(皿=(/(咖创门咖皿,其中/(+8)g(+°°)=limf(x)g(x)oJTT+oo(4)若函数/(兀)在1/7,4-00)上连续，X=(p(t)在［0
4、0)(其中〃为有限数或+oo)上连续可导,且严格单调递增，°(［Q,0))=［d,+oo),则无穷积分(「/(x)cLx收敛O积分M(p⑴)(p©&收敛，且厂/(x)cLt=『JaJa/wa))0a)dfo(5)设函数/(x)在(-co,+oo)上连续,十8若/(兀)为偶函数，则］“J—8f(x)dx收敛u>()f(x)dx收敛，且+8匚/(x)dr=2J/(x)dx；f+8若/(兀)为奇函数，则［J一8提示：注意由换元法可得+8r+8「+o«f(x)dx收敛u>J()/(A：)dr收敛，且Jf(x)d
5、x=0ofox=-i『0「+8Lf(x)dx=_L/(-r)dr=Jor+8J°/Wk,f+g-fo/为偶函数/为奇函数+8/(x)dx收敛也不a二、举例说明下面关系不一定成立：1、瑕积分r/(x)dx收敛不一定能推出瑕积分r/2(x)dr；无穷积分JaJa一定能推出无穷积分J"/2(x)dx收敛；注：定积分的乘法性对反常积分不一定成立。2、无穷积分J"/(x)dx收敛不一定能推出无穷积分
6、/(x)
7、dx收敛；注：注意与定积分的绝对值性质的区别。C+83^设函数/(x)在［(2,+oo)上连续，且］/(
8、x)ck收敛，则lim/(x)=0不一定成立;Jaxt+8三、通过下面的问题探索lim于(兀)的情况:r+81>设函数/(x)定义在［a,+8)上，且在任何［a.u］cL<7,+oo)上可积，/(x)dx收敛，若Jalimf(x)=A存在，则limf(x)=0:x—>-K*>x—>-K*>2、利用1探索：(1)设函数/(x)在［a,+x)上单调，且f/(x)dx收敛，则lim/(兀)=0；Jaxt+8c+°°r+°°.(2)设函数/'(X)在［0,+°°)上连续可导，且J/(x)cLt与Jf(x)cLt
9、都收敛，则lim/(x)=0；+oo3、设函数/(x)在a+g)上连续，且/(x)cLr收敛，则lim/(x)=0«/(兀)在上Ja一致连续；4、设函数/(x)在［a,+x)上连续，且/(x)dx收敛，试探索下面的问题：Jaru+c(1)证明：当u>a时，lim/(x)ck=0(其中c为任意给定的正数)，从而Ca+〃+llim
10、f(x)dx=0；"TsJa+n提示：注意到无穷积分的定义即可。(2)利用(1)和积分第一中值公式证明：在［67,+oo)中，存在严格递增的数列｛£｝满足：limX”=4-oo,
11、lim/(兀)=0；〃T8HT8r+8(3)类似于(1)方法证明：若函数/(兀)在S,+oo)上单调递增(减)，且丨f(x)dx收敛，Ja则还有limxf(x)=0o注：注意到第三大题的第2小题(1),(3)表明：/(x)=o(~)(xt+oo)。X提示：不妨设/(兀)在［(7,+oo)上单调递增，注意到下而的积分不等式以及无穷积分的定义即可：当u>2a时，2(j/(x)dr
