函数的单调性、奇偶性与最值

函数的单调性、奇偶性与最值

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1、考点2函数的单调性、奇偶性与最值1.已知函数/(x)=ax2+(ft—3)x+3,xg[2(7-3,4-(?]是偶函数,则【考点】二次函数的性质.【答案】2【分析】因为偶*1数的定义域关于原点对称,所以2d—3+4—尸0,解得6/=-1.由/(%)为偶函数,得/(-%)=/(%),即ax2-(b—3)x+3=ax2+(6—3)x+3,2(〃一3)x=0,所以b=3・所以a+b=3—1=2.2.已知/(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)的最小正周期为3,/(I)>0,八2)==,则加的取值范围是.77?+1【考点】其他不等式的解法;函数奇偶性的性

2、质.3【答案】2【分析】因为/(x)是定义在R上的奇函数,且/(x)的最小正周期为3,•所以/(2)于(2—3)=/(-1)=一/(1),乂因为/(I)>0,所以-/(1)<0,2m-33即广(2)=<0,解得m+23.已知/&)是定义域为R的偶函数,满足/(x+2)=/(x),如果/&)在[1,2]上是增函数,则下列命题正确的是()A./(x)在[0,1]上是增函数B.)的图像关于直线x=l对称23C./(-)>/(-)D・/(I)不是函数/(兀)的最小值32【考点】函数的周期性;函数单调性的性质.【答案】B【分析】由题意/(x)是定义域为R

3、的偶函数,/(x)在[1,2]上是增函数・・・/(兀)在[―2,—1]上是减函数,又/(x+2)于(兀),・・・函数是一个周期是2的周期函数,故可得出f(x)在[0,1]上是减函数,/&)在[―1,0]上是增函数,再由函数是偶函数,得/(x)在[0,1]上的图像与函数在[一1,0]上图像关于y轴対称,故函数在[0,2]上的图像也关于直线x=l对称,再由周期性知,每一个x=n,丘乙这样的直线都是函数的对称轴,考察四个选项,B选项是正确的,故选B.4.(12分)设函数/(x)=x+-^,xe[0,+oo).x+1(1)当“2时,求函数f(x)的最小值

4、;(2)当0<°<1时,试判断函数/(兀)的单调性,并证明.【考点】函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质.【解】(1)当尸2时,/(x)=x+2=x+l+--1^272-1.(4分)x+1X+1当且仅当兀+1=丄,即尸血―1时取等号,・・・/'(兀)斷=2血一1.(6分)x+l(2)当0<°<1吋,任取0W兀]<兀2/(^1)-f(x2)=(X,-x2)[1-•—17—乔时>05分);・X]V兀2,・°・/(X])V/(兀2),即/(X)在[0,+8)上为增函数.(12分)1.己知函数心)是定义在[-1,0)U(0,1]上的奇函数,当xe[-

5、l,0)时,f(x)=ox+丄.x~(1)求函数y=/(x)在(0,1]上的函数解析式;(2)当。>一2时,判断函数y=f(x)在(0,1]上的单调性,并给出说明.【考点】函数奇偶性的性质;两数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明.【解】(1)任取xw(0,1],则一xe[-i,0),/(-x)=-/(x)则/(对=一/(一兀)=血•(2)函数/(x)在(0,1]上为单调递增函数.1]且X]V兀2,则/(兀2)-/(西)=唱由于Xl9X2^(0,1]且兀]<兀2,所以X2-x{>0,>1,>1,当a>—2时,>0.所以所以/(x2)A/

6、(x)即函数/(X)在(0,1]上为单调递增函数.6•下列函数中,既是偶两数,乂是在区间(0,+-)上单调递减的函数是(B.y=x3C.y=2

7、x

8、D.v=cosx【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明.【答案】A【分析】对于尸In二,函数的定义域为兀GR且好0,将x用一x代替x,函数的解析式不变,所以是偶函数,当xW(0,+oo)吋,尸In=In—xVy=--<0,・・・^=ln—在区间(0,+oo)上单调递减的函数,xx故选A.7.若函数/(x)在定义域内存在实数x,满足/(-x)=-/(x),则称/(兀)为“局部奇函数〃.7T(1

9、)已知函数f{x)=sin(x+卩)(xGR,0V°<—),试判断f(x)是否为"局部奇函数"?并说明理由;(2)设/(兀)=2"+〃?是定义在[-1,1]上的"局部奇函数〃,求实数刃的取值范围;(3)若/(x)=4"—加2曲+加彳―3为定义域R上的“局部奇函数〃,求实数加的取值范围.【考点】函数奇偶性的判断.兀【解】(1)由于f(x)=sin(x+p)(0<^<—),f(—%)=sin(―x+卩)=—sin(x—卩),271则f(―x)+/'(x)=sin(x+°)—sin(x—卩)=2cosxsin®,由于0<(p<—,则0

10、T当尸㊁时,/(-X)t/(x)=0成立,由局部奇函数的定义,可知该函数/(X)为“局部奇函数〃;(2)根据局部奇函数的定义,f(x)=

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