二次函数典型例题解析与习题训练10页

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1、二、例题解析例1已知：二次函数为y=x2-x+m(1)写出它的图像的开口方向，对称轴及顶点朋标；(2)m为何值时，顶点在x轴上方(3)若抛物线与y轴交于A,过A作AB〃x轴交抛物线于另一点B,当Saaob=4时,求此二次函数的解析式.【分析】(1)用配方法可以达到目的；(2)顶点在x轴的上方，即顶点的纵处标为正；(3)AB〃x轴，A,B两点的纵处标是相等的，从而可求出m的值.【解答】(1)I由已知y=x?—x+m中，二次项系数a=l>(),・••开口向上，79191194m—1Xe.ey=x—x+

2、m=[x—x+(—)—+m=(x——)〜+2424114/72-1・・・对称轴是直线X二一，顶点朋标为(一，空J)•224(2)・・・顶点在x轴上方，4/77—1・・・顶点的纵坐标大于0,即>041/.m>—4II寸，顶点在x轴上方.4(3)令x=0,则y二m.即抛物线y=x2-x+m与y轴交点的处标是A(0,m).・・・B点的纵坐标为m・当x2—x+m=m时，，解得X]=0,x2=l./.A(0,m),B(1,m)在RtABAO中，AB=1,OA=

3、m

4、.・.1•Saaob=—OA•AB=4.2

5、1..,・・—m・1=4,・*.m=±82故所求一次函数的解析式为y=x2—x+8或y=x2—x—8.【点评】正确理解并掌握二次两数中常数a,b,c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处.例2已知：m,n是方程x2—6x+5=0的两个实数根，且m

6、作PH丄x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把APCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标.【分析】(1)解方程求出m，n的值.用待定系数法求出b,c的值.(2)过D作x轴的垂线交x轴于点M,可求出△DMC,梯形BDBO,ABOC的而积，用割补法可求IIIABCD的而积.32(3)PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH二一EP,②EH=-EP.23【解答】(1)解方程x2-6x+5=0,得X]=5,x2=l.I±lm

7、B(0,5).将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入y=—x2+bx+c,,-l+/?+c=0,得-5解这个方程组,过D作x轴的垂线交x轴于M,如图所示.所以抛物线的解析式为y=-x2-4x+5.(2)由y二一X，—4x+5,令y=0,得一x?—4x+5二0.解这个方程,得Xj=—5,x2=l.所以点C的坐标为(—5,0)，由顶点坐标公式计算,得点D(-2,9)・127则Sadmc=-X9X(5-2)=一22S様形mdbo=—X2X(9+5)=14,2c125Sabdc=~■X5X5=•22-

8、、27所以Sabcd=S梯形mdbo+Sadmc—Saboc--2（3）设P点的坐标为（a,0）因为线段BC过B,C两点，所以BC所在的直线方程为y=x+5.那么，PH与一右：线BC的交点坐标为E（a,a+5）,PH与抛物线y=-x2+4x+5的交点坐标为H（a,—a2—4a+5）.由题意，得®EH=-EP,即23（—a2—4a+5）—（a+5）=—（a+5）.23解这个方程，得旷一一或a=-5（舍去）.22②EH二一EP,得33（-a2-4a+5）一（a+5）=-（a+5）•22解这个方程，得沪

9、一一或a二一5（舍去）.33?P点的坐标为（一二，0）或（一一，0）.23-1-1+0例3已知关于x的二次函数y=x2—mx+—与y=x2—mx——,这两个二次函数的图像中的一条与x轴交于A,B两个不同的点.（1）试判断哪个二次函数的图像经过A,B两点；（2）若A点坐标为（一1,0）,试求B点坐标;（3）在（2）的条件下，对于经过A,B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？~4-1【解答】（1）对于关于x的二次函数y=x2-mx+^—.°+1°由于b^-4ac=（一m）-4XIX

10、=-m2-2<0,2所以此两数的图像与x轴没有交点.2

11、Q对于关于x的二次函数y=x2—mx——•°a°+2°由于b^-4ac=（一m）-4X1X二3nr+4>0,所以此函数的图像与X轴有两个不同的交点.”,+2故图像经过A,B两点的二次函数为y=x2-mx--——(2)将A(—1,0)代入y=x2—mx—m得l+m-=0.整理，得m2-2m=0.解得m二0或m二2.当m=0时,y=x2—1.令y=0,得x2—1=0.解这个方程,得X]=—1,x2=l.此时，点B的坐标是B(1,0