九年级数学上册《相似三角形》文字素材1 华东师大版

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1、与图形的相似有关的开放题图1相似三角形是初中数学的重点内容，是每年中考必考内容，特别是开放型的相似问题更受命题者关注，它对培养和考查学生的发散能力大有裨益．现以近年来中考题为例加以浅析，希望对同学们有所启发．一、条件开放型例1.（2005龙岩）如图，要使ΔADB∽ΔABC，那么还应增加的条件是_________（填写一个你认为正确的条件）解析：本题考查了相似三角形的判定，要由已知条件结合图形通过逆向思维找出合适的条件．由题意可知，两个三角形以有一组角即∠A=∠A，故要使ΔADB∽ΔABC，可添加一组角相等即∠ADB=∠C或∠ABC=

2、∠ADB，也可添加一组对应边．例2（2004陕西）如图2，矩形ABCD，AD=A，AB=B，要使BC边上至少存在一点P，使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则A,B间的关系一定满足（）图2A．A≥B；B．A≥B；C.A≥B；D．A≥2B.图3解析：由于矩形是轴对称图形，根据其对称性可知，通常情况下点P的位置有两个，它们关于BC的垂直平分线对称；如果存在一点P，则该点必为BC的中点，此时△ABP≌△DCP，则AP=DP，△APD为等腰直角三角形．要使△ABP、△APD、△CDP两两相似，则它们都是等腰直角三角形．此时，，即A=2B

3、．当点P的位置有两个时，A>2B．总之，A≥2B．故选D.二、结论开放型例3　（2004江苏淮安）已知：如图3，在□ABCD中，点E为边CD上的一点，AE的延长线交BC用心爱心专心的延长线于点F，请你写出图中的一对相似三角形：△______∽△_________．(只使用图中已有字母，不再添加辅助线)图4解析：本题有多种答案．注意到AD//CF，则△EDA∽△ECF；注意到CE//BA，则△ABF∽△ECF；利用相似形之间的“传递性”，有△ABF∽△EDA．三、图形开放例4　（2003泰州）如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方

4、形网格上有一个△ABC；在网格上画出一个与△ABC相似且面积最大的△A1B1C1，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上，则△A1B1C1的最大面积是__________.解析：正方形对角线A1C1为最长边，求出A1C1与AC的比即为相似比，从二确定另外两边的长．符合条件的三角形共有八个，只需画一个即可，最大面积为5．EBCDD¹A¹C¹B¹A图5例5　（2004烟台）如图5，现有两个边长为1:2的正方形ABCD与A¹B¹C¹D¹，已知点B、C、B¹、C¹在同一直线上，且点C与点B¹重合，请你利用这两个正方形，通过截割、平移、旋转的方

5、法，拼出两个相似比为1:3的三角形．要求：⑴借助原图拼图；⑵简要说明方法；⑶指明相似的两个三角形．解析：方法：①连结BD并延长交A′D′于点E，交C′D′延长线与点F；②将△D A′E绕点E旋转至△F D′E位置；③△BAD∽△F C′B．且相似比为1:3．评注：这两题虽然没有繁琐的证明过程，但解法颇具开放性．操作与求索相容，探究与创新同途，全面考查了学生的数学素质．四、知识迁移开放图6例6　（2005杭州）我们已经越过了相似三角形，也知道，如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形，比如两个正方形，它们的边

6、长，对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形．现在给出下列4对几何图形：①两个圆；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单第说明理由．用心爱心专心解析：本题对相似三角形的概念展开思考，不难发现：圆和正六边形是相似图形，因为它们对应的元素都成比例；菱形和长方形不是相似图形，因为它们对应的元素不一定成比例．例7　（2001泰州）阅读下面的短文，并解答下列问题．我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把他们叫相似体．如图6，甲、乙是两

7、个不同的正方体，它们的一切AB对应线段之比都等于相似比A：B设Ｓ甲、Ｓ乙分别表示这两个正方体的表面积，则Ｓ甲／Ｓ乙＝６A2／６B2＝(A／B)3，又设Ｖ甲、Ｖ乙　分别图7表示这两个正方体的体积，则Ｖ甲／Ｖ乙＝A3／B3＝(A／B)3．甲乙⑴下列几何体，一定属于相似体的是（　　　）Ａ．两个球体　　Ｂ．两个圆锥体　　Ｃ．两个圆柱体　　Ｄ．两个长方体⑵请归纳相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于②相似体表面积的比等于，③相似体体积的比等于．⑶假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼

8、儿园时身高为1.1米，体重为18千克，到了初三时，身高为1.65米，问他的体重是多少？（不考虑不同时期人体平均密度的变化）解析：（1）A；（2）相似比；相似比的平方；相似比的立方；（3）60.75千克．评注：这类问题建立在已学知识的基