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1、初一平面几何基础讲座之七首都师范大学数学科学学院周春荔2001年3月10日由屮央电视台播出的“第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛”（图1）ICM2002August20-28,2002初赛第一道试题是:"2002年将在北京召开国际数学家大会•如图1所示，这是大会的会标图案•它由四个相同的直角三角形拼成•已知直角边的长为2和3,求大正方形的面积・”显见，大正方形面积等于四个直角三角形与小间小正方形面积之和•每个直角三角形面积是3,四个直角三角形而积是12,中间小正方形的边长为3-2=1,而积是1•所以大止方形的面积是3x4+1=13・这道试题向广大青少年传播了2002年将在北
2、京召开国际数学家大会的信息，并利用这道赛题向大家介绍了大会会标的图案.其中还蕴涵着勾股定理及其具有中华特色的“弦图”证明.(-)勾股定理及其逆定理勾股定理揭示了直角三角形三边之间的度量关系•其内容是:AB则有a2+b2=c2.勾股定理的证明记载于欧儿里得(公元前三世纪)的如图2,AABC中，ZC=90CB=a,AC=b,AB=c,《几何原本》第一卷命题47：“直角三角形斜边上的正方形而积等于两直角边上止方形面积Z和.”国外称勾股定理为毕达哥拉斯定理•它是欧几里得几何的重要定理之一，冇的数学家形象地称勾股定理是欧氏几何的“拱心石”•勾股定理及其证明的内涵十分丰富•要深入
3、研究、反复休会，对学习会大有益处.《几何原本》中对勾股定理的证明，采用的是而积割补与等积变形.如图3,连接37,FC.ilC作CD丄FE于D,交AB于K.则CD//AF//BE,易证AA/3三ACF.所以SaqjLs2°AKDF亠Jli_2°ACIJ°AKDF•同法可证S/加=»kdf+Sbkde=S©+Sbchg•大家知道，中华民族是擅长数学的民族,我国也是最早发现勾股定理的国家0—・我国古代三国时期的数学家赵爽，就是利用“弦图”来证明勾股定理的•图4就是中国占算书中的“弦图”•“案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为屮黄实，加差实亦成弦实・
4、”其意思是：设直角三角形的勾为股为〃，弦为c,ab为两个红色直角三角形的面积，2"为四个红色直角三角形的面积•中黄实的面积为(a—b)2,大正方形的面积为c2.（图4）所以c2=2ab+（a-b）2=2ab+a2~2ab+b，=/+b1.从而巧妙地证明了勾股定理.勾股定理的证法很多，其中文艺复兴时期的达•芬奇的证法也是很有特色的.（图5）如图,在直角三角形ABC的三边上分别向外作止方形ABDE,AGFC,BCMN.求证:V斗£=£^UAGFC丁°[]BCMN~aUABDE9证明：连接FM,作直角三角形DEP与角三角形ABC全等.(AC=DP,BC=EP连接NG,PC.则
5、NG是六边形AGFMNB的对称轴,所以°AGNBAGFMNB'又六边形ACBDPE是中心对称图形，所以Sacpe吕Sacbdpe・因为以A为旋转中心，将四边形AGNB顺时针旋转90"与四边形ACPE重合所以四边形AGNB的面积二四边形ACPE的面积.因此六边形AGFMNB的面积二六边形ACBDPE的面积.即SagfC+SBCMN+Rt^ABC+Rti^FMC~ABDE+RiMBC+Ri^DEP注意到STC=SZBC=Sr^dEP，从上式两端消去两对而积相等的直角三角形得到SaGFC+-VMN~°ABDE9因此得证ac2+bc2=ab2.勾股定理的逆定理也是成立的，非常有
6、用.定理如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角.已知;△ABC中，BC2+AC2=AB2.求证：ZBCA=90}.（图6）证明：如图6,作一个直角三角形NEC,使ZB'C'A'=90°,BfC=BC,KC=AC.根据勾股定理，就有B©+2=A'B'2.与已知等式BC2+AC2=A/比较可知，有A矽=AB.所以山EC三ABC.因此有ZBCA=ZB'C'A'=90°.（二）勾股定理的初步应用例1.智能机器猫从平而上的O点出发.按下列规律行走：由O向东走12cm到4],由Ai向北走24cm到A2,由A2向西走36cm到人3，由人3向南走48cm到
7、人4，由旳向东走60cm到人5，问：智能机器猫到达的A6点与O点的距离是多少厘米？（图7）（第九届华杯赛团体决赛口试题9）解：依规律第六次chA5向北走72cm到A6.OP二12-36+60二36,?16P=24-48+72=48,由勾股定理得=OP2+362+482=122X32+122X42=122（32+42）=122•52=602.所以046=60(cm).即&点与O点的距离是60厘米（图8）例2・华罗庚爷爷说：数学是我国人民所擅t的学科.请小朋友求解《九章算术》屮的一个古代问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与
