初升高中数学暑假衔接预习教材教案讲义（共15讲）

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1、初升高中数学暑假衔接预习教材教案讲义（共15讲）第1讲乘法公式冋顾过去我们在初屮已经学习过了下列一些乘法公式:（1）平方差公式(a-^-b)(a-b)=a2-b2；（2）完全平方公式(a±b)2=a2±lab+b1.进入高中之后，我们将面临更多更复杂的运算。我们知道乘法公式可以使多项式的运算简便，进入高中后，我们会用到更多的乘法公式：（3）立方和公式(q+/?)(/-ab-^tr)=a3+b‘；（4）立方差公式(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b‘；（5）三数和平方公式(a+b+c)2—cr+Z?2+c2+2(ab+be+ac)；（6）两数和立方公式(

2、a+h)3=/+3a2h+3alr+戾；（7）两数差立方公式(a—b)3=a3-3&b+3ab2-b3.我们用多项式展开证明式子（3）,其余请自行证明:证明：(0+/?)(夕一ab+b?)=a3一a'b+ab2-^-crb-ab2+戾=a3+b3【例1】计算：(1)(4+m)(l6-4/7?+m2)(3)(q+2)(q—2)(^74+4a~+10解：⑴原式二4°+/=64+//、/I112112、(2)(—m——n)(—m~+—mn+—n~)5225104(4)(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2⑵原式=(討)3_(如)3=击亠討(3)原式=3—4

3、)04+46/2+42)=(a2)3-43=q6_64(4)原式=(x+y)2(x2-xy+y2)2=[(%+j)(x2-xy+y2)]2=(x3+/)2=x6+2x3y3^y6说明：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构.【例2】计算：(1)(x+1)3(2)(2x-3)3(3)(2x+y+l)2解：(1)(兀+1尸"+3^+3x+l(2)(2x-3)3=8x3-36x2+54x-27(3)(2x+y+1)，=[(2x+y)+1]2=(2x+y)2+2(2x+y)+1=4x2+4xy+y2+4x+2y+l【例3】己知x+y

4、=79xy=2,求x2+y~的值解：Tx+y=7,与=12,.Ix2+b=(x+y)2—2xy=l2—2x12=25说明：常用配方法：/+戻=(d+b『—2db,cr+b1={a-b^+2ab.【例4】已知兀+丄=3,求：(1)疋+丄；(2)F+A.Xx~X解：x+-=3,所以(1)X2+-V=(X4-丄)2—2=3?—2=7.XXX(2)兀3+4=(兀+丄)(兀2_1+4)=(兀+丄)[(兀+丄)2一3]=3(32—3)=18・XXXXX说明：(1)本题若先从方程兀+丄=3中解出兀的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐.(2)本题是根据条件式与求值式的

5、联系，用“整体代换”的方法计算，简化了计算.【例5】已知兀2+3兀—1=0,求：⑴F+亠；(2)x3-X.解：x~+3x—1=0,xH0,/.x~—1——3x,x———3.X(1)x2+-V=(x--)2+2=(-3)2+2=11；(2)x3--^=(x--)(x2+1+-^)=-3X(11+1)=-36.XXX说明：木题若先从方程x2+3x-l=o中解出X的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐.【例6】已矢l【a+b+c=4,ab+bc+ac=4,求/+，+(?的值.角军:cT+b~4-(?=(ci+Z?+c)?—2(ab+be+cic)=8・莖课时作业

6、1.不论d,方为何实数，6?+，—2d—45+8的值（）A.总是正数B.总是负数C.可以是零D.可以是正数也可以是负数2.已知x2+y1=169,x-y=79那么兀y的值为（）A.120B.60C.30D.153.如果多项式x2-nvc+9是一个完全平方式，则加的值是4.如果多项式x2+8x+Z:是一个完全平方式，则R的值是5.（c+b）2=a2+b2=（tz+/?）2-6.已知x+y=17,=60,贝ijx2+y2=7.填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式：(1)(兀-3)()=x3-27(2)(2X4-3)()=8x3+27(3)(扌+2)(

7、)=x6+8(4)(3a-2)()=27/-8(5)(兀+2尸=(）；(6)(2x-3y)3=()(7)1a1,2—cr——hr=94（*+”）（）(8)(6f+2Z?—c)2=

8、.4ab；2ab6.1697.(1)x~+3x+9(2)4x~—6