2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：7-5空间中的垂直关系含解析

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1、课时规范练A组　基础对点练1．设α，β，γ为不同的平面，m，n为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是(　D　)A．α⊥β，α∩β＝n，m⊥nB.α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥β，β⊥γ，m⊥αD.n⊥α，n⊥β，m⊥α2．(2018·洛阳统考)正方形ABCD和等腰直角三角形DCE组成如图所示的梯形，M，N分别是AC，DE的中点，将△DCE沿CD折起(点E始终不在平面ABCD内)，则下列说法一定正确的是__①④__.(写出所有正确说法的序号)①MN∥平面BCE；②在折起过程中，一定存在某个位置，使MN⊥AC；③MN⊥AE；④在折起过程中，一定存在某个位置，使DE⊥AD.3．已知四棱锥P－A

2、BCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)若PD＝AD＝2，PB⊥AC，求点P到平面AEC的距离．解析：(1)证明：如图，连接BD，交AC于点F，连接EF，∵底面ABCD为矩形，∴F为BD中点．又E为PD中点，∴EF∥PB.又PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC.(2)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.又PB⊥AC，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面PBD.∵BD⊂平面PBD，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD为正方形．又E为PD的中点，∴P到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离，设D到平面AEC的

3、距离为h，由题意可知AE＝EC＝，AC＝2，S△AEC＝×2×＝，由VD－AEC＝VE－ADC，得S△AEC·h＝S△ADC·ED，解得h＝，∴点P到平面AEC的距离为.4．如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E－ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．解析：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得A

4、G＝GC＝x，GB＝GD＝.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝x.由已知得，三棱锥E－ACD的体积V三棱锥E－ACD＝××AC×GD×BE＝x3＝，解得x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E－ACD的侧面积为3＋2.5．(2018·东北三省四市联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，PB的中点，PA＝AB＝1.(1)证明：EF∥平面PDC；(2)求点F到平面PDC的距离．解析：(1)证明：取PC的中

5、点M，连接DM，MF，因为M，F分别是PC，PB的中点，所以MF∥CB，MF＝CB.因为E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，所以DE∥CB，DE＝CB.则MF∥DE，MF＝DE，所以四边形DEFM为平行四边形，所以EF∥DM.因为EF⊄平面PDC，DM⊂平面PDC，所以EF∥平面PDC.(2)因为EF∥平面PDC，所以点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DA.在Rt△PAD中，PA＝AD＝1，所以DP＝.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CB.因为CB⊥AB，PA∩AB＝A，所以CB⊥平面PAB，所以CB⊥PB，则PC＝.因为PD2＋DC2

6、＝PC2，所以△PDC为直角三角形，所以S△PDC＝×1×＝.连接EP，EC，易知VE－PDC＝VC－PDE，设E到平面PDC的距离为h，因为CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA＝A，所以CD⊥平面PAD，则×h×＝×1×××1，解得h＝，所以F到平面PDC的距离为.B组　能力提升练1．(2018·广州调研)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA＝2ED＝2.(1)证明：平面PAC⊥平面PCE；(2)若∠ABC＝60°，求三棱锥P－ACE的体积．解析：(1)证明：如图，连接BD，交AC于点O，设PC的中点为F，连接OF，EF.易知O为

7、AC的中点，所以OF∥PA，且OF＝PA.因为DE∥PA，且DE＝PA.所以OF∥DE，且OF＝DE，所以四边形OFED为平行四边形，所以OD∥EF，即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.因为BD∥EF，所以EF⊥平面PAC.因为EF⊂平面PCE，所以平面PAC⊥平面PCE.(2)法一　因为