2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习:7-5空间中的垂直关系含解析

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1、课时规范练A组 基础对点练1.设α,β,γ为不同的平面,m,n为不同的直线,则m⊥β的一个充分条件是( D )A.α⊥β,α∩β=n,m⊥nB.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γC.α⊥β,β⊥γ,m⊥αD.n⊥α,n⊥β,m⊥α2.(2018·洛阳统考)正方形ABCD和等腰直角三角形DCE组成如图所示的梯形,M,N分别是AC,DE的中点,将△DCE沿CD折起(点E始终不在平面ABCD内),则下列说法一定正确的是__①④__.(写出所有正确说法的序号)①MN∥平面BCE;②在折起过程中,一定存在某个位置,使MN⊥AC;③MN⊥AE;④在折起过程中,一定存在某个位置,使DE⊥AD.3.已知四棱锥P-A

2、BCD的底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,E为棱PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)若PD=AD=2,PB⊥AC,求点P到平面AEC的距离.解析:(1)证明:如图,连接BD,交AC于点F,连接EF,∵底面ABCD为矩形,∴F为BD中点.又E为PD中点,∴EF∥PB.又PB⊄平面AEC,EF⊂平面AEC,∴PB∥平面AEC.(2)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC.又PB⊥AC,PB∩PD=P,∴AC⊥平面PBD.∵BD⊂平面PBD,∴AC⊥BD,∴四边形ABCD为正方形.又E为PD的中点,∴P到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离,设D到平面AEC的

3、距离为h,由题意可知AE=EC=,AC=2,S△AEC=×2×=,由VD-AEC=VE-ADC,得S△AEC·h=S△ADC·ED,解得h=,∴点P到平面AEC的距离为.4.如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.解析:(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得A

4、G=GC=x,GB=GD=.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积V三棱锥E-ACD=××AC×GD×BE=x3=,解得x=2.从而可得AE=EC=ED=.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.5.(2018·东北三省四市联考)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.(1)证明:EF∥平面PDC;(2)求点F到平面PDC的距离.解析:(1)证明:取PC的中

5、点M,连接DM,MF,因为M,F分别是PC,PB的中点,所以MF∥CB,MF=CB.因为E为DA的中点,四边形ABCD为正方形,所以DE∥CB,DE=CB.则MF∥DE,MF=DE,所以四边形DEFM为平行四边形,所以EF∥DM.因为EF⊄平面PDC,DM⊂平面PDC,所以EF∥平面PDC.(2)因为EF∥平面PDC,所以点F到平面PDC的距离等于点E到平面PDC的距离.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥DA.在Rt△PAD中,PA=AD=1,所以DP=.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CB.因为CB⊥AB,PA∩AB=A,所以CB⊥平面PAB,所以CB⊥PB,则PC=.因为PD2+DC2

6、=PC2,所以△PDC为直角三角形,所以S△PDC=×1×=.连接EP,EC,易知VE-PDC=VC-PDE,设E到平面PDC的距离为h,因为CD⊥AD,CD⊥PA,AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD,则×h×=×1×××1,解得h=,所以F到平面PDC的距离为.B组 能力提升练1.(2018·广州调研)如图,已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥底面ABCD,ED∥PA,且PA=2ED=2.(1)证明:平面PAC⊥平面PCE;(2)若∠ABC=60°,求三棱锥P-ACE的体积.解析:(1)证明:如图,连接BD,交AC于点O,设PC的中点为F,连接OF,EF.易知O为

7、AC的中点,所以OF∥PA,且OF=PA.因为DE∥PA,且DE=PA.所以OF∥DE,且OF=DE,所以四边形OFED为平行四边形,所以OD∥EF,即BD∥EF.因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以PA⊥BD.因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC.因为PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC.因为BD∥EF,所以EF⊥平面PAC.因为EF⊂平面PCE,所以平面PAC⊥平面PCE.(2)法一 因为

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