2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习：7-5空间中的垂直关系含解析

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1、课时规范练(授课提示：对应学生用书第295页)A组　基础对点练1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则(　D　)A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直2．(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为(　B　)A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在

2、平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析：由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理，知选项C，D正确．3．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E为棱PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)若PD＝AD＝2，PB⊥AC，求点P到平面AEC的距离．解析：(1)证明：如图，连接BD，交AC于点F，连接EF，∵底面ABCD为矩形，∴F为BD中

3、点，又E为PD中点，∴EF∥PB，又PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，∴PB∥平面AEC.(2)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又PB⊥AC，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面PBD，∵BD⊂平面PBD，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD为正方形．又E为PD的中点，∴P到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离，设D到平面AEC的距离为h，由题意可知AE＝EC＝，AC＝2，S△AEC＝×2×＝，由VD－AEC＝VE－ADC得S△AEC·h＝S△ADC·ED，解得h＝，∴点P到平面AEC的距离为.4．(20

4、18·“超级全能生”全国联考)如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝2，AD＝DC＝CB＝1，将△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB(如图②)．(1)求证：BC⊥AD；(2)求点E到平面BCD的距离．解析：(1)证明：作CH⊥AB于点H，则BH＝，AH＝，又BC＝1，∴CH＝，∴CA＝，∴AC⊥BC.∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ADC，又AD⊂平面ADC，∴BC⊥AD.(2)∵E为AB的中点，∴点E到平面BCD的距离

5、等于点A到平面BCD的距离的一半．而(1)知平面ADC⊥平面BCD，∴过A作AQ⊥CD于Q.又∵平面ADC∩平面BCD＝CD，且AQ⊂平面ADC，∴AQ⊥平面BCD，AQ就是点A到平面BCD的距离．由(1)知AC＝，AD＝DC＝1，∴cos∠ADC＝＝－，又0<∠ADC<π，∴∠ADC＝，∴在Rt△QAD中，∠QDA＝，AD＝1，∴AQ＝AD·sin∠QDA＝1×＝.∴点E到平面BCD的距离为.B组　能力提升练1．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(

6、1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．解析：(1)证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.(2)如图，作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以

7、△CBB1为等边三角形，又BC＝1，所以OD＝.由于AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC－A1B1C1的高为.2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵ABM－DCP与刍童ABCD－A1B1C1D1的组合体中，AB＝AD，A1B1＝A1D1.台体体积公式：V＝(S′＋＋S)h，其中S′，S分别为台体上、下底面的面积，h

8、为台体的高．(1)证明：BD⊥平面MAC；(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝，三棱锥A－A1B1D1的体积V′＝，求该组合体的体积．解析：(1)证明：由题意可知ABM－DCP是底面为直角三角形的直棱柱，∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA.又MA⊥AB，AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，∴MA⊥平面ABCD，∴MA⊥BD.