2020年高考理科数学新课标第一轮总复习练习:7-5空间中的垂直关系含解析

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1、课时规范练(授课提示:对应学生用书第295页)A组 基础对点练1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则( D )A.垂直于平面β的平面一定平行于平面αB.垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC.垂直于平面β的平面一定平行于直线lD.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直2.(2017·深圳四校联考)若平面α,β满足α⊥β,α∩β=l,P∈α,P∉l,则下列命题中是假命题的为( B )A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在

2、平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析:由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线,因此也平行于平面β,因此A正确;过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α,不一定在平面α内,因此B不正确;根据面面垂直的性质定理,知选项C,D正确.3.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PD⊥底面ABCD,E为棱PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)若PD=AD=2,PB⊥AC,求点P到平面AEC的距离.解析:(1)证明:如图,连接BD,交AC于点F,连接EF,∵底面ABCD为矩形,∴F为BD中

3、点,又E为PD中点,∴EF∥PB,又PB⊄平面AEC,EF⊂平面AEC,∴PB∥平面AEC.(2)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PD⊥AC,又PB⊥AC,PB∩PD=P,∴AC⊥平面PBD,∵BD⊂平面PBD,∴AC⊥BD,∴矩形ABCD为正方形.又E为PD的中点,∴P到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离,设D到平面AEC的距离为h,由题意可知AE=EC=,AC=2,S△AEC=×2×=,由VD-AEC=VE-ADC得S△AEC·h=S△ADC·ED,解得h=,∴点P到平面AEC的距离为.4.(20

4、18·“超级全能生”全国联考)如图①,四边形ABCD为等腰梯形,AB=2,AD=DC=CB=1,将△ADC沿AC折起,使得平面ADC⊥平面ABC,E为AB的中点,连接DE,DB(如图②).(1)求证:BC⊥AD;(2)求点E到平面BCD的距离.解析:(1)证明:作CH⊥AB于点H,则BH=,AH=,又BC=1,∴CH=,∴CA=,∴AC⊥BC.∵平面ADC⊥平面ABC,且平面ADC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,∴BC⊥平面ADC,又AD⊂平面ADC,∴BC⊥AD.(2)∵E为AB的中点,∴点E到平面BCD的距离

5、等于点A到平面BCD的距离的一半.而(1)知平面ADC⊥平面BCD,∴过A作AQ⊥CD于Q.又∵平面ADC∩平面BCD=CD,且AQ⊂平面ADC,∴AQ⊥平面BCD,AQ就是点A到平面BCD的距离.由(1)知AC=,AD=DC=1,∴cos∠ADC==-,又0<∠ADC<π,∴∠ADC=,∴在Rt△QAD中,∠QDA=,AD=1,∴AQ=AD·sin∠QDA=1×=.∴点E到平面BCD的距离为.B组 能力提升练1.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(

6、1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.解析:(1)证明:如图,连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C,所以B1C⊥AO,故B1C⊥平面ABO.由于AB⊂平面ABO,故B1C⊥AB.(2)如图,作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H.由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1=60°,所以

7、△CBB1为等边三角形,又BC=1,所以OD=.由于AC⊥AB1,所以OA=B1C=.由OH·AD=OD·OA,且AD==,得OH=.又O为B1C的中点,所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC-A1B1C1的高为.2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的棱台称为刍童.在如图所示的堑堵ABM-DCP与刍童ABCD-A1B1C1D1的组合体中,AB=AD,A1B1=A1D1.台体体积公式:V=(S′++S)h,其中S′,S分别为台体上、下底面的面积,h

8、为台体的高.(1)证明:BD⊥平面MAC;(2)若AB=1,A1D1=2,MA=,三棱锥A-A1B1D1的体积V′=,求该组合体的体积.解析:(1)证明:由题意可知ABM-DCP是底面为直角三角形的直棱柱,∴AD⊥平面MAB,∴AD⊥MA.又MA⊥AB,AD∩AB=A,AD,AB⊂平面ABCD,∴MA⊥平面ABCD,∴MA⊥BD.

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