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《2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习:8-9圆锥曲线的综合问题含解析》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、课时规范练A组 基础对点练1.(2018·东北三省四市联考)在平面直角坐标系中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点M在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)已知P(-2,0)与Q(2,0)为平面内的两个定点,过点(1,0)的直线l与椭圆C交于A,B两点,求四边形APBQ面积的最大值.解析:(1)由题可知e==,所以a=2c,则椭圆C的方程为+=1,将M代入得+=1,所以c2=1,a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)由题易知,直线l的斜率不为0,设l的方程为x=my+1,联立方程消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0.设点A(x1,
2、y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,则
3、AB
4、=·=.点P(-2,0)到直线l的距离为,点Q(2,0)到直线l的距离为,所以四边形APBQ的面积S=××=.令t=,t≥1,则S==.设函数f(t)=3t+(t≥1),则f′(t)=3->0,所以f(t)在[1,+∞)上单调递增,有3t+≥4,故S=≤6,当且仅当t=1时取等号. 所以当t=1,即m=0时,四边形APBQ面积最大,最大值为6.2.(2016·高考北京卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程
5、;(2)设P是椭圆C上一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:
6、AN
7、·
8、BM
9、为定值.解析:(1)由题意得解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:由(1)知,A(2,0),B(0,1).设P(x0,y0),则x+4y=4.当x0≠0时,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得yM=-,从而
10、BM
11、=
12、1-yM
13、=.直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得xN=-,从而
14、AN
15、=
16、2-xN
17、=.所以
18、AN
19、·
20、BM
21、=··==4.当x0=0时,y0=-1,
22、BM
23、=2,
24、AN
25、=2,所以
26、AN
27、·
28、BM
29、=4.综
30、上,
31、AN
32、·
33、BM
34、为定值.3.已知椭圆E:+=1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0,设短轴的一个端点为D,原点O到直线DF的距离为,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C,G两点,且
35、
36、+
37、
38、=4.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A,B且使得2=4·成立?若存在,试求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.解析:(1)由椭圆的对称性知
39、
40、+
41、
42、=2a=4,∴a=2.又原点O到直线DF的距离为,∴=,∴bc=,又a2=b2+c2=4,a>b>c>0,∴b=,c=1.故椭圆E的方程为+=1.(2)当直线
43、l与x轴垂直时不满足条件.故可设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程得(3+4k2)x2-8k(2k-1)x+16k2-16k-8=0,∴x1+x2=,x1x2=,Δ=32(6k+3)>0,∴k>-.∵2=4·,即4[(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)]=5,∴4(x1-2)(x2-2)(1+k2)=5,即4[x1x2-2(x1+x2)+4](1+k2)=5,∴4(1+k2)=4×=5,解得k=±,k=-不符合题意,舍去,∴存在满足条件的直线l,其方程为y=x.4.(2018·陕西质检)已知椭圆
44、+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2,由M(-a,b),N(a,b),F2和F1这4个点构成了一个高为,面积为3的等腰梯形.(1)求椭圆的方程;(2)过点F1的直线和椭圆交于A,B两点,求△F2AB面积的最大值.解析:(1)由已知条件,得b=,且×=3,所以a+c=3.又a2-c2=3,所以a=2,c=1,所以椭圆的方程为+=1.(2)显然,直线的斜率不能为0,设直线的方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程消去x得,(3m2+4)y2-6my-9=0.因为直线过椭圆内的点,所以无论m为何值,直线和椭圆总相交,所以y1+y
45、2=,y1y2=-,所以S△F2AB=
46、F1F2
47、
48、y1-y2
49、=
50、y1-y2
51、==12=.又m2≥0,所以9(m2+1)++6递增,所以9(m2+1)++6≥9+1+6=16,所以S△F2AB≤=3,当且仅当m=0时取等号,所以S△F2AB的最大值为3.B组 能力提升练1.(2018·武汉调研测试)已知直线y=2x与抛物线Γ:y2=2px(p>0)交于O和E两点,且
52、OE
53、=.(1)求抛物线Γ的方程;(2)过点Q(2,0)的直线交抛物线Γ于A,B两点,P为直线x=-2上一点,PA,PB分别与x轴相交于M,N两点,问M,N两点的横坐标的乘积xM·xN是否为定
54、值?如果是定值,求出该定值,否则请说明理由.解析:(