线、面角的计算(作业及答案)

线、面角的计算(作业及答案)

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时间:2019-09-27

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1、线、面角的计算(作业)例1:在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.A(1)求证:AB⊥CD;M(2)若M为AD的中点,求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.BD【思路分析】(1)利用面面垂直的性质定理可得AB⊥平面BCD,进而得到CAB⊥CD;(2)思路一:考虑作D到平面的垂线,分析线面间的垂直关系,得到垂线,进而得到线面角,在直角三角形中研究边角关系,求解;思路二:转化为求点D到平面的距离,利用三棱锥的等体积

2、法,建立等式,求解.【解题过程】(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⊥BD,∴AB⊥平面BCD,又CD⊂平面BCD,∴AB⊥CD.(2)由(1)可得CD⊥平面ABD,∴CD⊥BM,CD⊥AD,在Rt△ABD中,AB=BD,M为AD的中点,∴BM⊥AD,∴BM⊥平面CDM,方法一:如图,过点D作DE⊥CM于点E,A∵DE⊂平面CDM,∴BM⊥DE,M又DE⊥CM,∴DE⊥平面BCM,则∠DMC即为直线AD与平面MBC所成的角,EBD26在Rt△CDM中,CD=1,

3、DM=,∴CM=,22CCD16sin∠DMC=,CM6326即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.31方法二:利用等体积法VV求解,DBCMMBCD令点D到平面BCM的距离为d,直线AD与平面MBC所成的角为θ,1如图,取BD的中点F,连接MF,则MF∥AB,MF,A2∵AB⊥平面BCD,M∴MF⊥平面BCD,在Rt△BCD中,BD=CD=1,BD11F∴BC=2,S11,BCD22C在Rt△ABD中,AB=BD=1,M为AD的中点,2∴BM=,2由BM⊥平面CDM得,B

4、M⊥CM,2在Rt△BCM中,BM=DM=,BC=2,261263∴CM=,S,BCM22224∵VV,DBCMMBCD131113∴d,解得d,3432233d36则sinθ=,DM2326即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.32例2:如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AA1=2,连接A1B,A1C,求二面角A-A1B-C的正切值.C1【思路分析】AB11观察此二面角,点C到平面AA1B的垂线很明显,利用三垂线

5、法,先找到垂足D,再过垂足作棱A1B的垂线DE,连接CE,即得二面角的平面角为∠CED,进而研究相关的三角形,在直角三角形C中求解.AB【解题过程】如图,取AB的中点D,过点D作DE⊥A1B于点E,连接CD,CE,C1则CD⊥AB,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有A1A⊥底面ABC,AB11又CD⊂平面ABC,∴A1A⊥CD,又CD⊥AB,CE∴CD⊥平面AA1B1B,ADB∴CD⊥DE,CD⊥A1B,又DE⊥A1B,∴A1B⊥平面CDE,∴A1B⊥CE,A1B⊥DE,即∠CED为二面角A-A

6、1B-C的平面角.2在Rt△ABC中,AC=BC=1,∴AB=2,CD=BD=,2在Rt△AA1B中,AB=AA1=2,∴∠A1BA=45°,21在Rt△BDE中,BD=,∴DE=,2221在Rt△CDE中,CD=,DE=,222CD2∴tan∠CED=2.DE1231.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值.B1C1A1BCA2.如图,在三棱锥O-ABC中,三条棱OA、OB、OC两两垂直,且OA=OB=OC,M是AB边的中点,求OM

7、与平面ABC所成的角的正切值.OABMC43.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=23,PD=CD=2.(1)求证:平面PDC⊥平面ABCD;(2)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.PDCAB4.如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三P角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,点D,E,F分别为AC,AB,BC的中点.(1)求证:EF⊥PD;(2)求直线PF与平面PBD所成角的正弦值.BFCEDA55.如图,在

8、△ABC中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,若SA=AB=BC,求二面角B-SC-A的大小.SACB6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,∠BAC=90°,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°,设AA1=a.A1C1(1)求a的值;(2)求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小.B1ACB67.如图,在直棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,2AA1=AC=CB=AB.2(1)求证:BC1∥平面A1CD;A1C1(

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