线、面角的计算（作业及答案）

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1、线、面角的计算（作业）例1：在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．A（1）求证：AB⊥CD；M（2）若M为AD的中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．BD【思路分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得AB⊥平面BCD，进而得到CAB⊥CD；（2）思路一：考虑作D到平面的垂线，分析线面间的垂直关系，得到垂线，进而得到线面角，在直角三角形中研究边角关系，求解；思路二：转化为求点D到平面的距离，利用三棱锥的等体积

2、法，建立等式，求解．【解题过程】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）由（1）可得CD⊥平面ABD，∴CD⊥BM，CD⊥AD，在Rt△ABD中，AB=BD，M为AD的中点，∴BM⊥AD，∴BM⊥平面CDM，方法一：如图，过点D作DE⊥CM于点E，A∵DE⊂平面CDM，∴BM⊥DE，M又DE⊥CM，∴DE⊥平面BCM，则∠DMC即为直线AD与平面MBC所成的角，EBD26在Rt△CDM中，CD=1，

3、DM=，∴CM=，22CCD16sin∠DMC=，CM6326即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为．31方法二：利用等体积法VV求解，DBCMMBCD令点D到平面BCM的距离为d，直线AD与平面MBC所成的角为θ，1如图，取BD的中点F，连接MF，则MF∥AB，MF，A2∵AB⊥平面BCD，M∴MF⊥平面BCD，在Rt△BCD中，BD=CD=1，BD11F∴BC=2，S11，BCD22C在Rt△ABD中，AB=BD=1，M为AD的中点，2∴BM=，2由BM⊥平面CDM得，B

4、M⊥CM，2在Rt△BCM中，BM=DM=，BC=2，261263∴CM=，S，BCM22224∵VV，DBCMMBCD131113∴d，解得d，3432233d36则sinθ=，DM2326即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为．32例2：如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=1，AA1=2，连接A1B，A1C，求二面角A-A1B-C的正切值．C1【思路分析】AB11观察此二面角，点C到平面AA1B的垂线很明显，利用三垂线

5、法，先找到垂足D，再过垂足作棱A1B的垂线DE，连接CE，即得二面角的平面角为∠CED，进而研究相关的三角形，在直角三角形C中求解．AB【解题过程】如图，取AB的中点D，过点D作DE⊥A1B于点E，连接CD，CE，C1则CD⊥AB，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有A1A⊥底面ABC，AB11又CD⊂平面ABC，∴A1A⊥CD，又CD⊥AB，CE∴CD⊥平面AA1B1B，ADB∴CD⊥DE，CD⊥A1B，又DE⊥A1B，∴A1B⊥平面CDE，∴A1B⊥CE，A1B⊥DE，即∠CED为二面角A-A

6、1B-C的平面角．2在Rt△ABC中，AC=BC=1，∴AB=2，CD=BD=，2在Rt△AA1B中，AB=AA1=2，∴∠A1BA=45°，21在Rt△BDE中，BD=，∴DE=，2221在Rt△CDE中，CD=，DE=，222CD2∴tan∠CED=2．DE1231.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，求AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值．B1C1A1BCA2.如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=OB=OC，M是AB边的中点，求OM

7、与平面ABC所成的角的正切值．OABMC43.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=23，PD=CD=2．（1）求证：平面PDC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．PDCAB4.如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，△ABC是直角三P角形，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D，E，F分别为AC，AB，BC的中点．（1）求证：EF⊥PD；（2）求直线PF与平面PBD所成角的正弦值．BFCEDA55.如图，在

8、△ABC中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，若SA=AB=BC，求二面角B-SC-A的大小．SACB6.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1=a．A1C1（1）求a的值；（2）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小．B1ACB67.如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，2AA1=AC=CB=AB．2（1）求证：BC1∥平面A1CD；A1C1（