关于向量教学诸多问题的思辨

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1、关于向量教学诸多问题的思辨连春兴（北京丰台益辰欣园1-6-1001）摘要：针对向量的教学中，向量的知识结构、基本定理的地位、向量整体运算与坐标运算的关系、向量与解析几何的异同、向量与高考，等一系列问题，进行了系统地思考与辨析。关键词：平行与共线基本定理向量与高考解题利器在长期的教师培训实践中,笔者发现一些一线教师在向量教学中困惑很多。究其原因，一方面，向量是新教材的新增内容；另一方面，在向量几何这个全新运算系统中，作为运算基本元的向量，既有“数”的抽象，还兼具“形”的直观，这种有别于实数的运算特色，大家不太适应。为深

2、入交流，笔者针对向量教学暴露出来的种种问题，做了一番谨慎地辨析。因学识所限，谬误难免，希望得到专家、同行的指正。问题1“相等向量”的概念造成“平行与共线”不区分，这与平面几何的差异，对我们造成困扰，但为什么还这样规定？如此定义“相等向量”有什么好处?这是从欧式几何转向向量几何后迎面而来的第一个困惑。表面看来，“相等向量”的概念造成“平行与共线”不作区分，会对初学者会有一定困扰，但我们这样定义，对于向量几何系统的构建和确保向量工具的方便好用，具有奠基性意义，是不可或缺的。首先从运算的需求角度看，在代数系统中，我们通常选

3、“实数、单项式…”等作为运算的基本元，并在运算中离不开合并与简约；而在向量几何中，以可视空间（中学生的局限）中横七竖八的向量作为运算的基本元，其繁复程度是不可想象的，我们迫切需要实现运算基本元的简约，于是，首先定义了向量变换的“两个不变性”：其一，平移不变自身（即“相等向量”的概念），其二，数乘不变共线。有了这两个“不变性”，我们对空间中甲、乙两个任意的平行（共线）向量，都可以理解为其一是其二涨缩（或反向）的结果，即“a//b,则存在实数入，使a=Xb,其中bHO,”这样，我们就实现了把三维空间中任意一族平行向量都可

4、用一个“非零代表”（基底）线性表示，从而实现了运算基本元的最大简约。其次，从知识内部的和谐角度看，认识向量加法的三角形法则与平行四边形法则的统一，离不开相等向量的概念；利用平行四边形法则极易完成向量加法交换律“C二a+二b+a”的证明，其本质也离不开相等向量的概念；通过向量“a+（-b）”的几何意义解释向量减法运算几何意义是“连接两向量终点，方向指向被减向量的向量”，同样需要“相等向量”的概念；更有甚者，若离开“相等向量”的概念，无法达成对两向量差的坐标表示与几何意义的一致性理解。问题2为什么把选“基底”线性表示其它

5、向量的定理冠之为“基本定理”？在我们数学中，能冠之“基本定理”的定理通常有奠基的意义,如代数基本定理“每个次数n1的复系数多项式在复数域中有一根⑴，”该定理对多项式分解、方程求根的作用不言而喻。而向量'‘基本定理”也从如下两个方面反映出它在知识体系中的奠基作用。（1）基本定理的核心是“基底”思想，即用至少的量表示更多的量，它使运算基本元实现了最大简约，它是前辈数学家智慧的体现。如前所述，选一维基向量线性表示共线向量（直线基本定理）；选两个不共线向量作为二维基向量表示共面向量（平面基本定理）；选三个不共面向量作为三维基

6、向量表示空间向量（空间基本定理）。三个不同维度的“基本定理”，一脉相承，实现了向量运算基本元的最大简约，这种核心思想方法，贯穿于向量工具解决几何问题的始终。（2）有了一、二、三维空间中基本定理奠基，不论解决什么几何问题，只要在图形中选定合格的“基底”，其它任意相关线段构成的向量都可由基向量线性表示，从而实现了运用向量解决几何问题的完备性。基于上述理由，该定理冠之于“基本定理”，是当之无愧的。问题3向量“基本定理”在知识体系中虽然重要，但我们的教学要求却是“了解”层次，在教学中往往一带而过，这样处理是否妥当？要不要关注

7、“基本定理”的证明？在与教材配套的教师用书中，我们对向量“基本定理”的教学要求的确是“了解”层次，这主要是鉴于该定理不像其它几何定理那样，在逻辑推理中有更多的直接运用，但这并不意味着选“基底”，简约运算基本元的思想方法可以弱化。所以，要求学生理解向量“基本定理”的来龙去脉和证明过程是适当的。笔者曾在北京航天中学组织过一次“平面向量基本定理”的研究课，生源基础虽然不好，却收到很好的教学效果。课堂采用下列问题导学叫（1）甲存钱a元，乙存钱数是甲的3倍，丙是1.5倍，丁欠别人钱数是甲的2倍，如何用甲的钱数表示乙、丙、丁的钱

8、数？（2）平面上有一个非零向量弓,平面上哪些向量可以由弓表示？（3）平面上哪些向量不可以由弓表示？（4）能否增加一个非零向量幺2,实现平面上任意向量都可以由向幺2表示?显然问题（1）为问题（2）提供了一个类比环境；问题（3）旨在引导学生发现与弓不共线的向量不能被弓表示；问题（4）提出后,教师随机在黑板画出方向不同（两两不共线）、长短不一，同时也