《数学物理方法》单锥天线-补充教材2

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1、利用静态场方程、直接积分法和静电比拟原理求解无限长单锥天线的输入阻抗（补充例题一）如图所示，真空中有一个无限长单锥（mono-conical）天线，它是rfl无限长的金属板（xoy平面）和顶角为2%的无限长锥体单元构成的（这里画成有限人），两者Z间绝缘。假定锥体的电位为如，金属板接地（电位为0）,试求解：（1）空间屮的电位分布u；（2）电场分布E和单位长度的分布电容C；（3）假定边界条件不变、锥体上通有直流电流，根据静电比拟原理，该系统还具有分布电感。假定分布电容仍然跟静态的情况一样，锥体和接地板就构成一个单锥天线，交流电

2、流同样会产生分布电感L,且满足厶C=叭,英屮£（）二丄xlO^F/加为真空中的电容率，//（）=4^xl（r7H/m为真空中的导磁率。试求出36兀分布电感l,以及单锥天线的特性阻抗z=VZ7co解:（1）依题意可知，电位分布满足Laplace方程，也就是：V2w=0。根据系统的旋转对称性且锥体无限反，故电位函数〃与坐标卩、r均无关而只与&有关。乂根据球坐标下的Laplace算符展开式g#知晋）+忑歸彩（sin&瓠諾韦器可知偏微分方程退化成简单的常微分方程［1］：(sin&du30)=0(1)因此，这个方程可以通过“直接积分

3、”的办法来求解:如，&=&o兀(3)0,0=-2"可角如豪伽磅+B(2)其中A、B为待定的常数。根据示意图可以写出边界条件:根据边界条件可以待定出系数A、B,不难求得:人二如Intan—2故此可得电位分布函数〃为：,=^^lntan^(4)Intan22(2)根据电场和电位的关系，不难知道电场等于电位函数的负梯度，即:E=—Vw(5)根据球坐标下的梯度算符grcid^u)=Vw=H—可知电场drrdOrs0d(p只有&分量，BP：—寫—為rln(tan—)sin0如-如-*、G◎二9◎(6)-rln(tan号)sin0

4、rIn[(tan号)]"sin0grln(cot—)sin^为了求出单位长度的电容C,必须先求出单位长度(r二1)的电荷Q,为此可以利用本构关系，首先求解电荷面密度CT:*D产£°E严—普一(7)rln(cot-^-)sin0于是根据球面坐标的面积微元关系[2],可以求得单位长度的总电荷量为：心门;—驾—仏孙心迭_(8)rln(cot—)sin0ln(cot—)因此，单位长度的电容c为：C=Q_=(F/m)(9)如ln(cot如)（3）假定边界条件不变，如果系统支持的是直流或交流电场，都会产生电感（储存磁场能量）。由于所有

5、边界条件不变，故可以利用静电比拟方法、推知直流和低频情况下的场分布。易知磁场分量与电场分量正交（垂直）且沿着。方向分布（右手定则）。根据已知条件厶C=“（局,可知单位长度的分布电感：“管逡吸碍＜H/m）（10）IncotIncot(Ohm)(11)其中Z（）二J如=120%欧姆称为“自由空间中的波阻抗”。由于天线是无限长的，可以认为输入阻抗Z加等于特性阻抗Z[3]o根据镜像原理，对称的双锥天线（无限大接地板被另一半的对称锥体取代）的输入阻抗为：z二in_hiconical=2Z=^lncot^(12)712式子（12）就是

6、著名的"谢昆诺关（Schelkunoff）吞式？利用波动方程也能推导出完全一致的结果，详细过程可参见文献[3]。从谢昆诺夫（Schelkunoff）公式出发，可以说明两个结论：（1）如果一个天线的几何参数只是角度的函数，则它的输入阻抗特性与工作频率f无关，这就是天线工程中非常著名的“拉姆塞原则”（Rumsey'sPrinciple）。（2）对于无限长双（单）锥天线，其输入阻抗为纯电阻；如果将无限长双（单）锥天线截断为有限长天线，则输入阻抗为复数且与工作频率f有关。参考文献[1]张文灿，邓亲俊，电磁场的难题与例题分析，pp.

7、122-123,北京：高等教育出版社，1987.⑵徐立勤，曹伟，电磁场与电磁波理论，pp.25-26,北京：科学出版社，2006.⑶J.D.Kraus,Antennas（2ndEdition）,pp.340-347,NewYork:McGraw-HillBook,1988.附1:球坐标中的面积微元示意图rsOd©附2：工程实际中的双（单）锥天线实际工程中的双（单）锥天线，可用多根导体（母线）代替锥体，降低重量、成本、风阻和施工难度，对低频应用特别合适（这吋“无限大接地板”为大地）单锥天线模型，锥体用磷铜片制成，接地板为

8、马口铁板。