《哈工程自动控制原理教学资料》相平面法例题解析

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1、相平面法例题解析:要求：1•正确求出对于非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是间关系的方程（或C-C）o会画相轨迹（模型中是给具体数的）。※※关键是确定开关线方程。2.探※※如果发生自持振荡，计算振幅和周期。注意相平面法一般应：1）按照信号流向与传输关系。线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有e或者&的运动方程。2）探※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。开关线方程确定很关键。3）探※※根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变

2、量积分法或者消去f法）不同线性分区对应的相轨迹方程，即c-c和—0之间关系。4）※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。例2：已知r（r）=4-l（r）,问题1：给出起点在勺=0,4=0的相轨迹图—6。（10分）问题2：计算相轨迹旋转一周所需时间和振幅。（5分）ren兀1c~厂F2解：问题1：1）设系统结构图，死区特性的表达式：x=0,

3、e

4、<2数学表达式：lx=e-2,e>2x=e+2.e<-22）因为线性部分：£^=丄，则微分方程为：c=xX（5）523）绘制€—0平面

5、木目轨迹图。因为£=r—C,C=r-efc=r-e,c=r-eoRA贝Ue=-x+r（1）'e=0,e<2--1当r>0,r=0,r=0。代入，则e=2-e,e>2——IIe=-e-2,e<-2III由于非线性环节有3个分区，相平面W-0分为3个线性区。4）系统开关线：£=±2。5）由题意知初始条件e（0）=4,e（0）=0在II区，则从初始值出发绘制相轨迹:II区：e+e-2=0不是标准形式(Q=0且20,贝ije=2,所以奇点(2,0))特征方程：於+1=°,$=±厶奇点对应着中心点一一没有一阶导数。或者※※※

6、用解析法求：上课时按照此方法求的：斜率方程—=-=^,则分离变量积分得[ede=[(2-e)dedeee」()山则幺-c之间的相轨迹方程为e2+(e-2)2=4结论：II区以奇点(2,0)为中心的,与右开关线e=2的交点A(2,・2)I区：0=0,e=C=-29水平线，与左开关线幺二-2的交点B(・2,・2)III区：e+e+2=0,(B0且6=0,贝!je=-2,所以奇点(-2,0)特征方程：52+1=0,s=±j,奇点对应着中心点——没有一阶导数。或者※※※用解析法求：上课时按照此方法求的：dgc—2斜率方程———

7、,则分离变量积分得deee「2滋=匚一(2+£)血(注意新的初始值B(-2,・2))则丘-6之间的相轨迹方程为F+@+2)2=4结论：III区以奇点(-2,0)为中心的。以此例推，出现了一个封闭椭极限环问题2：若相平面中出现了稳定的极限环一一对应着非线性的自持振荡。问题：自持振荡的周期怎么算呢？幅值怎么算呢？如图：这是个椭圆,1)周期:T=4(tCA+tAD)II区：tCA=^~de=£2.*7de,(因为e2+(e-2)2=4^e=y/4-(e-2)2)4J4_(e—2yfO1ro1i区：如订严=i2~2de=1即C

8、点的横振幅一一代表此时的位窃，也就是此时与横轴的交点位置大小坐标。例3：具有继电器特性的非线性系统分析2006-B(15分)非线性控制系统如图。问题I：给出起点在c°=2,厲=0的相轨迹图°-0。（10分）问题2：计算相轨迹旋转一周所需时间。（5分）r.eL2X1C1-10112解：问题1：（10分）0

9、咋11）非线性环节数学表达式：兀=2£>1-2e<-2）因为线性部分：fl#所以描述线性部分的微分方程为：—c=0ld1c=-2Xe<-l3)绘制幺一6平面相轨迹图。e=r-c,令r=0,'c=0k

10、lIIc=2c<-lIII4）开关线方程：c=±l,5）由已知条件，起点c°=2,co=O,（2,0）从II区开始，下面绘制相轨迹：II区:c=—2,则个=—2r+Cq——2r；c=—t~+c^t+c（）=—t+2；相轨迹为开口向左的抛物线,c=-0.25c2+0.25c（；+c（）=-0.25c2+2；在右开关线c=1处的交点为c°

11、=l,1=-0.25c2+2d01=-2-（1,-2）I区：c=0f则Coj=-2；c=-c0lt+c01=-2t+1；相轨迹为平行横轴的直线（因为纵坐标不变・2

12、,而横坐标虽时间变化）；在左开关线处的交点为％2=・1,c02=-2-（-1,-2）III区：c=2z+c（）2=2t-2；c=r+cQ2t+c（）2=t2—2t—l；c=0.25c2-0.25珞+%=0.25c2-2一一相轨迹为开口向右的抛物线,在开关线处的交点-（-1,2）以此类推，求得如图的极限环。注意：每个区的初始值是不同