2014相平面法例题解析相平面法例题超详细步骤解析.doc

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1、相平面法例题解析一、线性系统的相平面法例题（一般用于选择填空）：例已知线性系统的运动方程，分别给出系统在相平面中具有(a)稳定焦点和(b)鞍点时，参数a和b的取值范围。解：由方程求出两根为。(a)稳定焦点，系统具有一对负实部共轭复根，、且；(b)鞍点，系统具有符号相反的两个实极点。例已知某二阶线性系统的运动方程为，则系统的奇点类型和当输入时的系统稳态误差分别为__B____。A．稳定的节点，；B．稳定的焦点，0；C．稳定的焦点，；　D．稳定的节点，0。例8.6：设线性系统开始处于静止状态（即输出初始值为0），试利用相平面法对系统稳定性及稳态误差进行分析。其中，r(t)c(t)e(t

2、)-1）：2）：解：因分析系统稳定性故从闭环系统传递函数出发，由闭环系统传递函数，则。于是描述该系统的运动方程为：绘制相平面相轨迹。【注】：把相变量变成误差，分析最终奇点位置表示稳态误差情况。当然也行。但是若没要求，一般建议相平面。因为，即，所以，————————（1）1）：，于是得出关于误差的运动方程：，注：如果线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程，可以不用解析法求相轨迹，而直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹。根据的正负分为a），；b）。。注：负的根。奇（异）点：令，代入运动方程，则，故奇点为（0,0）。—————————————————

3、以下为说明————————————————【注】：奇（异）点求法是令，代入运动方程。但是，要注意：只有当线性系统运动方程为典型的二阶系统运动方程时，可直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹，即此时必须求奇点。关于这一点请看下面【特别对比】；若线性系统运动方程非典型，此时可用解析法求相轨迹，而不需求奇点。这一结论也适用于非线性系统相平面分析。【特别对比】实际上，对于上面的运动方程我们直接根据此时特征方程根的分布情况，分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹，这样很简单。但是，如果你想用解析法求相轨迹也可以。根据斜率方程，则分离变量并积分得本来可以求出之

4、间的相轨迹满足的方程，但是这里，不知为何值，因此即使得到之间的相轨迹方程，也还是不会画图。【特别对比】—————————————以上为说明————————————————————初始值：，即因此，在平面作相轨迹。如图可见，系统稳定（当时奇（异）点（0,0）为稳定的焦点，当时奇（异）点为稳定的节点）；当为阶跃信号时稳态误差为0。2）：当，，。代入(1)式，（注意：不是前面的典型二阶系统形式了）所以，设（）。则（注，可按照上面的画图了）。奇点仍为（0,0）。根据的正负分为a），；b）。。注：负的根。初始值：，即。如图。同理可见系统稳定。但是，要分析系统的稳态误差，需要绘制平面的相轨迹（

5、只要坐标平移把的奇点移到即可）。即在平面系统的奇点为。由图可见，系统在斜坡输入信号作用下，稳态误差为。总结：Ø相平面法分析时关键先求二阶线性系统运动方程及初始值；Ø线性系统相轨迹和奇点类别取决于系统特征根在复平面上的分布情况；Ø线性系统奇点的位置和相轨迹初始值位置则取决于输入信号的形式。二、非线性系统的相平面法例题（一般填空或计算）：要求：1.正确求出非线性系统在每个线性区的相轨迹方程，也就是（或）之间的关系方程；会画相轨迹（模型中是给具体数的）。※※关键要确定开关线方程。2.※※※如果发生自持振荡，会计算振幅和周期。【注】：非线性系统的相平面法一般应：1）按照信号流向与传输关系。

6、线性部分产生导数关系，非线性部分形成不同分区。连在一起就形成了不同线性分区对应的运动方程，即含有或者的运动方程。2）※※※根据不同线性分区对应的运动方程的条件方程确定开关线方程。开关线方程确定很关键。3）※※※根据不同线性分区对应的运动方程，利用解析法（分离变量积分法或者消去t法）不同线性分区对应的相轨迹方程，即和之间关系；4）※根据不同分区的初始值绘制出相轨迹，并求出稳态误差和超调、以及自持振荡的周期和振幅等。特别指出：如果非线性系统的某个线性分区对应的运动方程同典型的二阶系统运动方程，也可以不用解析法，而根据此时特征方程根的分布情况，直接分析奇（异）点类型并绘制该区域的相轨迹。

7、例2：具有死区特性的非线性系统分析。设系统开始处于静止状态。问题1.用相平面法分析系统在输入r(t)=4.1(t)时的运动情况。问题2.如果发生自持振荡，求自持振荡的周期和振幅。解：问题1：1）设系统结构图，死区特性的表达式：2）线性部分：，则运动方程为：3）绘制平面相轨迹图。因为，，，。代入则（1）当，，。代入，则各区的运动方程由于非线性特性有3个分区，相平面分为3个线性区。【注】当相平面选好后，输入代入后，最后代入非线性特性；否则先代非线性特性后代输入，则需要同时