江苏省苏州外国语学校2017届高三高考数学复习之凹凸函数之切线放缩

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1、凹凸函数之切线放缩很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成g{x）>kx^b,或g{x）

2、-a2=…二a2mQ=-时'/（6fl）+/（6f2）H—+/（如1（））=60303+无1Q13对于函数f（x）=—（00）.1+ax2（1）求/（兀）在斗,2]上的最大值；2（2）若

3、直线尸-兀+2°为曲线y=的切线，求实数d的值；(3)当a=2时，设占小，…，兀14w,且x,+x2+•••+x14=14,若不等式/（Xj）+/（尤2）+・・・+/（知）52恒成立’求实数久的最小值.(l+a?)2(1+or2)2令f(x)=o,MW%=±—(负值舍去)，由-<—<2,解得丄vav4.a2a4当0v*丄时，由xg[-,2],得/"(无)n0,・•・/⑴在[丄,2]上的最大值为/(2)=-^-422467+1(ii)当gX4时，由xg[-,2],得r(x)<0,/.f(x)在[丄,2]上的最大值为f(丄)二一邑.222q+4(iii)当丄vov4时，•・•在丄

4、，fx)>0,在—

5、面给出证明：当xe[-,2]时，f(x)<4-x./(x)-(4-x)=9x1+2〒-4+x2兀’—8x~+1Ox-4l+2x22(x—l)2(x—2)1+2%2当心昇时,/(x)-(4-x)<0,即/(x)<4-x.••••广（兀1）+・广（兀2）+・・・+・广（兀14）54><14—（西+%2+・・・+兀

6、4），•/Xj+兀2T卜兀14=14,+l-/(x14)<56-14=42•・•・要使不等式fg+/•(◎+•••+/U14)<2恒成立，必须2n42.又•・•当xt=x2=•••=Xl4=1时,满足条件兀]+兀2+…+兀

7、4=14，且/(^)+/(x2)+-+/(x14)=42

8、,因此，2的最小值为42.311127例3、若>0,(/=1,2,3)，且工兀=1，则——+——+——W—/=i1+无]1+1+10证明：设g(x)=，则g，(x)=,g''(x)二,1+x(1+f)(1+兀)…3旦,J3］上是上凸的，在区间（_8,一〈3）,333则平衡值XcF由导数知识易求得g（x）=」丁在31+x21rV3V3.,.1rV3>/3q一丘1_一一，—」，g（x）=在L-—,—」331+x233由g''(x)<0得-0得x>或xV--,3333Vg(x)在R上连续，故g(x)=—在1+兀‘3127x=严的切线为尸习(2-x)，因xo=(―,+8)

9、上是下凸的。由为兀=1,127127127上是上凸的，故g(x)二——W——(2-x)恒成立。即——W——(2-x)——W——(2-X2),1+F501+V501+吃501773111?7——w丄(2-X3),三式相加并结合yXi=1即得——+——+——o1十兀350幺；1+彳l+x221+可10若将该题条件改为：若兀•>0,(i=1,2,3),且工齐=3时，解法同理。/=1此时平衡值x(Fl,而g(x)=—在x二1处的切线为尸-丄x+1,因x