5.2 中心极限定理

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1、课件制作：应用数学系概率统计课程组概率论与数理统计§5.2中心极限定理定理1独立同分布的中心极限定理设随机变量序列相互独立，服从同一分布，且有期望和方差：则对于任意实数x,注：则Yn为的标准化随机变量.即n足够大时，Yn的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数记近似近似服从定理2李雅普诺夫(Liapunov)定理设随机变量序列相互独立，且有有限的期望和方差：记若则对于任意实数x,定理3德莫佛—拉普拉斯中心极限定理（DeMoivre-Laplace）设Yn~B(n,p),0

2、

3、,1/6)中心极限定理的应用近似比较几个近似计算的结果用中心极限定理用二项分布(精确结果)用Poisson分布用Chebyshev不等式例2某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6.开工时每台耗电量为r千瓦.问供电所至少要供给这个车间多少电力,才能以99.9%的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？解设至少要供给这个车间a千瓦的电力设X为200台车床的开工数.X~B(200,0.6),问题转化为求a,使X~N(120,48)(近似)由于将X近似地看成正态分布，故反查标准正态函数分布表，得令解得(千瓦)例3检查员逐

4、个地检查某种产品,每检查一只产品需要用10秒钟.但有的产品需重复检查一次，再用去10秒钟.假设产品需要重复检查的概率为0.5,求检验员在8小时内检查的产品多于1900个的概率.解检验员在8小时内检查的产品多于1900个即检查1900个产品所用的时间小于8小时.设X为检查1900个产品所用的时间(单位：秒)设Xk为检查第k个产品所用的时间(单位：秒),k=1,2,…,1900XkP10200.50.5相互独立,且同分布,解法二—1900个产品中需重复检查的个数例4对敌人的防御工事用炮火进行100次轰击,设每次轰击命中的炮弹数服从

5、同一分布,其数学期望为2,均方差为1.5.如果各次轰击命中的炮弹数是相互独立的,求100次轰击(1)至少命中180发炮弹的概率;(2)命中的炮弹数不到200发的概率.解设Xk表示第k次轰击命中的炮弹数相互独立，设X表示100次轰击命中的炮弹数,则(1)(2)例5售报员在报摊上卖报,已知每个过路人在报摊上买报的概率为1/3.令X是出售了100份报时过路人的数目，求P(280X320).解令Xi为售出了第i–1份报纸后到售出第i份报纸时的过路人数,i=1,2,…,100(几何分布)相互独立,中心极限定理的意义在实际问题中，若某

6、随机变量可以看作是有相互独立的大量随机变量综合作用的结果，每一个因素在总的影响中的作用都很微小，则综合作用的结果服从正态分布.练习2(2001年数学四考研试题十一题)一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.((2)=0.977，其中(x)是标准正态分布的分布函数)练习1(2002年数学四考研试题)设随机变量相互独立，则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，近

7、似服从正态分布，只要().有相同的数学期望(B)有相同的方差(C)服从同一指数分布(D)服从同一离散型分布作业*补充：设某农贸市场某种商品每日的价格的变化是均值为0，方差为2=2的随机变量，即其中Yn是第n天该商品的价格。如果今天的价格为100，求18天后该商品的价格在96与104之间的概率。