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1、分形和混沌制作人：数学爱好者分形和混沌（一）分形（二）混沌（三）混沌与分形的关系（四）非线性科学的展望西方有个传说:在因陀罗的天堂里有一张网,你可以从其中的一个看到其他所有的宝石里反映出来的映象.世界上的每个物体也都是这样,也就是说,每个事物不仅仅是他自身,而且还包含着其他所有的事物的性质.“英国海岸线”问题我们差不多可以对英国海岸线的长度有个概念,因为我们以一个适当的量度来测量它.当我们换一个标度(采用更小的单位)来量度它的长度的时候,我们会发现海岸线的长度被大大增加了.这是为什么呢?我们将用分形(Fractal)来解释.自然界的闪电也是一个典型的分形
2、.因为闪电与它的分支形状,不论从全体还是从分支流都没有太大的变化.Fractal分形自然界和社会中存在着各种各样的分形,其中有些是曲线或曲面,有些是不连通的“尘”,还有一些形状是非常奇怪的,在科学和艺术中都找不到合适的术语来给它们命名.但是,它们都有一个共同的数学结构-----粗糙和自相似.为此我们先介绍分数维的概念:拓扑维数：确定整个图形中点的位置所需的参数个数，实际上就是我们通常所理解的关于维的概念。例如，直线是一维的，平面是二维的，空间是三维的，曲线是一维的，曲面是二维的。例如科克曲线，如若用传统的维数观点去看的话，你会发现曲线上任意两点间沿曲线的
3、距离为无穷大，从而不能用一个参数确定图形上的所有的点。但是，分形不具有传统的维数。为解决这个问题，需引进新的维数概念来重新描述图形的复杂程度。新维数有不同于传统维数的定义方法，从而有了成为分数的可能性。新维数有许多种定义方法。其中相似性维数是一种较初等的定义方法。相似性维数：如果某图形是由把全体缩小成１／a的b个相似形所组成，则相似性维数为Ｄ＝logb/loga新的维数定义方法与传统的维的观念并不矛盾。例如将一个正方形缩小成边长是原来1/2的小正方形，则4个这样的小正方形拼成原来的大正方形。所以正方形的维数D=log4/log2=2，这和拓扑维数相一致。
4、点击进入分形程序我们现在来用新的维数观点来看科克曲线的维数。科克曲线的生成方式：将一条长度是1的线段三等分，以中间的线段为底边作一等边三角形，然后去掉中间的线段得到一条由四条长度是1/3的线段所组成的折线。再将这四条线段重复以上过程得到16条长度是1/9的线段所组成的折线。不断重复以上过程就生成了科克曲线。科克曲线的维数：将4个迭代了n次的图形在尺度缩小到1/3便可拼成一个迭代了n+1次的图形。而科克曲线迭代了无穷多次，于是将4个在尺度上缩小到1/3的科克曲线便可拼成原尺度的科克曲线。所以，科克曲线的相似性维数D=log4/log3=1.2618…由此可
5、见科克曲线具有分数维，它和传统的平面曲线具有不同的性质，例如科克曲线是在一个有限的范围内却没有有限的长度。形态的不规则性.它是如此的不规则,以致不能用传统的数学语言来描述;结构的精细性,即具有任意小的比例细节;局部与整体的自相似性,即局部与整体具有自相似性(这种自相似性可以是严格的,近似的或统计的);维数的非整数性,它的维数一般是分数的,并且大于其拓扑维数;生成的迭代性,分形虽然具有复杂结构,但是通常可以用迭代方法生成.作为非线性科学三大理论前沿之一的分形理论,具有一些不同与整形(欧氏几何里具有整数维的几何图形)的特点,概括有五个基本特征或性质.分形结束
6、返回主页我们再看一个著名的例子——“蝴蝶效应”.洛仑兹有一个形象的比喻“巴西的一只蝴蝶扇动几下翅膀,可能会改变3个月后美国得克萨斯的气候”。他说明了天气演变对初值的敏感依赖性。用混沌学的术语表述就是，系统的长期行为对初值的敏感依赖性。（1）混沌的定义（2）混沌的特性：a.确定系统的内在随机性b.对初值的敏感性c.非平衡过程产生的混沌是一种“奇异吸引子”d.混沌区具有分数维数e.混沌区具有无穷嵌套的自相似结构（3）进入混沌的机制1）倍周期分岔道路2）阵发混沌道路（4）应用.混沌返回首页混沌的定义混沌的定义目前尚未确定，众说纷纭，这儿只取其一帮助理解。混沌是
7、指确定宏观的非线形系统在一定条件下所呈现的或不可预测的随即现象，是确定性与不确定性，规则性与不规则性，有序性与无序性融为一体的现象，其不确定性或随机性不是来源于外部干扰，而是来源于内部的“非线性交叉耦合作用机制”。这种“非线性交叉耦合作用”得数学表达式是动力学方程中的非线性项。正是由于这种“交叉”作用，非线性系统在一定的临界条件下才表现出混沌现象，才导致其对初值的敏感性，才导致内在的不稳定性的综合效果。所谓确定性系统是指我们考虑的物理系统，它的物理量随时间的变化是一个确定性的常微分方程组或差分方程组所决定的。只要给了初始条件，它的解（或运动轨迹）就是唯一
8、确定。在某些情况和给定的控制参数下，其解会呈现出混沌状态。混沌现象是确定性系统“
