2012复习(圆的有关性质)

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1、圆的基本性质复习一、知识系统圆的定义有关概念圆的基本性质圆心、半径、直径弧、弦、弦心距等圆、同心圆圆心角、圆周角（补充圆内角、圆外角）三角形外接圆、圆的内接三角形、四边形的外接圆、圆的内接四边形点和圆的位置关系不在同一直线上的三点确定一个圆圆的中心对称性和旋转不变性圆的轴对称性垂径定理圆心角定理圆周角定理圆内接四边形的性质●1.要确定一个圆,必须确定圆的____和___圆心半径圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.O这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”.2.圆的定义(1)是通过旋转.(2)是到定点的距离等于定长的点的集合.一、圆的相关

2、概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).●O经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB⌒以A,B两点为端点的弧.记作,读作“弧AB”.ABCD圆的相关概念直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧ABC).●OAB⌒小于半圆的弧叫做劣弧,如记作(用两个字母).ABCD大于半圆的弧叫做优弧,如记作(用三个字母).⌒ACD·OABCDE1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．二.有关定理及推论③AM=BM,由①CD是直径②C

3、D⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢＥＯ几何语言表达垂径定理：垂径定理推论：M③AM=BM,①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,①CD是直径③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢＥＯ几何语言表达M垂径定理推论：1°圆心角1°弧CDn°圆心角n°弧把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等

4、。一般地，n°的圆心角对着n°的弧。弧的度数在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等定理推论OABCA'B'C'2、圆心角、弧、弦、弦心距.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。MPBOA3、圆周角顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.●OBACED特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.F圆周角.在同圆（等圆）中,同弧(等弧)所对的圆周角相等.都等于

5、这条弧所对的圆心角的一半.圆周角定理:在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.等角等弧圆周角定理及推论90°的圆周角所对的弦是.●OABC●OBACDE●OABC定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这弧所对的圆心角的一半.推论:直径所对的圆周角是.直角直径判断:(1)相等的圆心角所对的弧相等.(2)相等的圆周角所对的弧相等.(3)等弧所对的圆周角相等.(×)(×)(√)1、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆

6、周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。直径直角等角等弧3、内接四边形的对角互补。4、如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。点与圆的位置关系如图，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那么若点A在⊙O内若点A在⊙O上若点A在⊙O外OA＜r，OB＝r，OC＞r．反过来也成立，即不在同一直线上的三个点确定一个圆（这个三角形叫做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆心叫做三角形的外心）圆内接四边形的性质：（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内对角反证法的三个步骤：1、提出假设2、由题设

7、出发，引出矛盾3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确怎样要将一个如图所示的破镜重圆？【例1】在直径为400mm的圆柱形油槽内，装入一部分油，油面宽320mm，求油的深度.图(1)中OC==120(mm)∴CD=80(mm)图(2)中OC=120(mm)∴CD=OC+OD=320(mm)三、经典习题例.在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD之间的距离。平行弦与圆心的位置【例2】如图，△ABC中，∠A＝700，⊙O截△ABC的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC＝。OBAC例3.⊙O是△ABC的外接圆，

8、OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。点与弦的相对位置例4.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于__