生活中的优化问题举例(课件)精要

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1、第三章导数及其应用§3.4生活中的优化问题举例1.通过实例了解利用导数解决最优化问题的步骤．2.会利用导数解决某些实际问题.学习目标1.求解有关函数最大值、最小值的实际问题．(重点)2.把实际问题转化成抽象的数学问题．(难点)3.在解决实际问题时注意函数的定义域．(易混点)特别提醒低碳生活(low－carbonlife)可以理解为减少二氧化碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的生活．“低碳生活”节能环保，势在必行．现实生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油消耗最少或每升汽油能使汽车行驶最长的路程．如何使汽油的使用效率最高？启动思维1

2、．最优化问题走进教材2．求实际问题的最值，主要步骤如下：(1)建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0，求出；(3)比较函数在区间端点和在的取值大小，确定其最大(小)者为最大(小)值．极值点极值点预习检测答案：D答案：B3．设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，高为h，底面半径为r，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，则h∶r＝________时，造价最低．答案：4∶1当x∈(80,120)时，h′(x)>0，h(x)是增函数．故当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.因

3、为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．故当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．例1.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？典例剖析题目类型一、面积、容积的最值问题思路分析[题后感悟](1)解决面积，容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．(2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤1．如图，要设计一

4、张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？变式练习∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x)的最小值为S(140)，当x＝140时，y＝175，即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．例2.已知A、B两地相距200千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中

5、的速度为v千米/小时(8

6、为(2＋)x万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？变式练习题目类型三、利润最大问题思路分析[题后感悟]正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解题的主要思路，另外需特别注意：①合理选择变量，正确给出函数表达式；②与实际问题相联系；③必要时注意分类讨论思想的应用．3.某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．(1)若该公司将当年

7、的广告费控制在300万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？变式练习解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y