计算方法 第一章 数值计算方法

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1、数值计算方法数学是研究数与形的科学。其中研究怎样利用手指、算盘、算尺、计算器、计算机等工具，来求出数学问题数值解答的学问，就是计算方法，或称计算数学。它是数学中最古老的部分，但只是在电子计算机出现以后，人们获得了高速度、自动化的计算工具，才为众多浩繁的数值问题的解决展现了光明的前景。从此，科学研究与工程设计的手段，发生了由模型试验向数值计算的巨大转变。为什么要开设这个课呢？§1数值计算方法的意义、内容与方法软件的核心就是算法。20世纪最伟大的科学技术发明---计算机计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思维智能；计算机的发展和应用，已不仅仅是一种科学技术现象，而且成了一种政治、军事、经济和社会现

2、象；没有软件的支持，超级计算机只是一堆废铁而已；算法犹如乐谱，软件犹如CD盘片，而硬件如同CD唱机。算法的研究和应用正是本课程的主题！现代科学研究的三大支柱理论研究科学实验科学计算计算数学21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会“用数学”解决实际问题--会用计算机进行科学计算一、计算数学的产生和早期发展计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是计算问题。二、二十世纪计算数学的发展数值代数最优化计算数值逼近计算几何概率统计计算蒙特卡罗方法(统计模拟方法)微分方程的数值解法微分方程的

3、反演问题数值分析讲述的基本内容如何把数学模型归结为数值问题如何制定快速的算法如何估计一个给定算法的精度分析误差在计算过程中的积累和传播如何构造精度更高的算法如何使算法较少的占用存储量如何分析算法的优缺点本课程的基本要求掌握数值方法的基本原理掌握常用的科学与工程计算的基本方法能用所学方法在计算机上算出正确结果数学问题的数值解法例示解例试求函数方程x=cosx在区间(0,PI/2)内的一个根。数学问题的数值解法例示现取h=0.05,其结果见下表:xnynyxnyny01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.94396

4、0.41.341641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.612451.612452.02.236072.236071.01.732051.73205………本章内容§1引言§2误差的来源及分类§3误差的度量§4误差的传播§5减少运算误差的原则第一章计算方法与误差小结要求掌握的内容第一章计算方法与误差概念包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限等误差截断误差、舍入误差的详细内容，误差种类等分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则1.1引言数值分析又称计算方法,它是研究各种数学问题的数值解法

5、及其理论的一门学科。数值分析的任务实际问题数学模型数值计算方法程序设计上机计算数值结果根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机算出结果，这一过程便是数值分析研究的对象1.对于要解决的问题建立数学模型2.研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程3.按照2进行计算，得到计算结果建立数学模型转化为数值公式进行计算数值方法解题的一般过程数值计算以及计算机模拟（包括当前流行的虚拟现实的方法），已经是在工程技术研究和经济、社会科学中广泛应用的方法，带来巨大的经济效益天气预报与亿次计算机波音777的无纸设计与有限元CT、核磁共振计算流体力学与爆炸工程能源问题与大型计算第一章计算方法与误差计算作为

6、工程技术研究方法计算方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。第一章计算方法与误差计算机实质上只会做加减乘除等基本运算。研究怎样通过计算机所执行的基本运算，求得各类问题的数值解或近似数值解，就是计算数学的根本课题求解一个问题，不同有人常常编写出不同,然而都是正确的程序。这是为什么呢？实质上，这与计算方法的算法问题和程序设计的技术问题有关。不同的求解方法将产生出不同的算法，不同的算法将使我们

7、设计出不同的程序，而决定这个程序功能的本质是算法。因此算法被认为是计算科学的核心问题之一。何为算法？一、算法的概念描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤，称为算法。计算机上的算法，按面向求解问题的不同，分为数值算法和非数值算法。数值运算算法的目的是求