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《线性代数4-7章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标定义1设V为n维向量的非空集合，若V对向量的加法、数乘两种线性运算封闭（即运算的结果仍为V中向量），则称V为向量空间.1.n维实向量全体的集合：例1.考察下列向量的集合是否为向量空间.是Rn=第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续1)3.V2=例1.考察下列向量的集合是否为向量空间.4.n元齐次线性方程AX=0解向量全体的集合S.2.V1=是不是是第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续2)定义2设V1,V2是两个向量空间,且V1V2,则称V1为V2
2、子空间.例2设L=L(α1,α2,...,αs)={k1α1+k2α2+...+ksαs
3、ki∈R,αi∈Rn}则L为向量空间，且LRn即L为向量空间Rn的子空间，称其为由向量α1,α2,...,αs生成的子空间.第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续3)定义3设向量空间V中一组向量A0:α1,α2,...,αr满足：称k1,k2,...,kr为向量α在A0这组基下的坐标1)α1,α2,...,αr线性无关；α=k1α1+k2α2+...+krαr,2)V中任意向量α均可由向量α1,α2,...,αr
4、线性表示:则称α1,α2,...,αr为V的一组基，称V为r维向量空间(V的维数为r),记作:dimV=r.第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续4)1.n维实向量全体的集合Rn2.V1=dimRn=n(任意n个线性无关的n维实向量均为Rn的一组基)为Rn的一组基ε2,ε3,…,εn为V1的一组基.dimV1=n-1第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续5)3.n元齐次线性方程AX=0的解空间S.4.L=L(α1,α2,...,αs)={k1α1+k2α2+...+ksαs
5、ki∈R,αi∈
6、Rn}方程的基础解系为S的一组基.dimS=n-R(A).α1,α2,...,αs的最大无关组为L的一组基.dimL=R[α1α2...αs]第四章向量空间§1向量空间及其基、维数、坐标(续6)例3.R2中,分别求向量β=(2,3)T在下列两组基下的坐标.解：β=2ε1+3ε2∴β在基(I)下的坐标为2,3;又β=3α1-α2∴β在基(II)下的坐标为3,-1.第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基向量空间是几何空间的抽象.基是坐标系的抽象.性质：定义：n维向量几何空间的直角坐标系、两个向量的夹角、数量积、垂
7、直、向量的长度等概念，均可推广到向量空间中来.的内积（等号当且仅当α=0时成立）第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续1)性质：定义向量α的长度：
8、
9、α
10、
11、=1时，称α为单位向量.称为β的单位化向量（标准化向量）.第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续2)例1设α=kβ,求α的单位化向量α0.称为β的单位化向量（标准化向量）.解：第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续3)即对任意实数t,定理1证明：1)β≠0时，左式为t的二次函数f(t)，f(t)=0至多只有一个实根.∴其判别式△=4(α,β
12、)2-4(α,α)(β,β)≤02)β=0时，等号成立.证毕.第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续4)(α,β)=0时，称α与β正交.零向量与任何向量正交.当α，β均非零向量时，定义α与β的夹角：定理1第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续5)定理2设α1，α2，…，αs为两两正交的非零向量.则α1，α2，…，αs线性无关证明：设k1α1+k2α2+…+ksαs=0.两边与αi作内积,得：∴ki=0,i=1,2,...,s.∴α1，α2，…，αs线性无关.ki(αi，αi)=0,∵第四章向量空间§
13、2Rn中的内积标准正交基(续6)定义:设α1，α2，…，αs是向量空间V的一组基,且两两正交,则称α1，α2，…，αs为V的一组正交基.若又有
14、
15、αi
16、
17、=1(i=1,2,…,s),则称α1，α2，…，αs为V的一组标准正交基.第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续7)Schmidt正交化方法设向量组A:α1，α2，…，αr线性无关,求与A等价的标准正交向量组.1.正交化：则β1,β2,…,βr两两正交....取第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续8)Schmidt正交化方法设向量组A:α1，α2
18、，…，αr线性无关,求与A等价的标准正交向量组.2.标准化：(i=1,2,...,r)e1,e2,…,er即为所求标准正交向量组.令第四章向量空间§2Rn中的内积标准正交基(续9)定义:若n阶实矩阵A满足：ATA=E，则称A为正交矩阵.ATA=正交矩阵证：设A=(1)
19、A
20、2=1；(3)A的行（列）向量组为标准正交向量组.所以A的列向量两两正交且长度为1.=E性质：设A为正交矩阵，则(
