第一章乘法公式与多项式 - 当两条线段(或直线)相交成直角时

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1、當兩條線段(或直線)相交成直角時，我們稱這兩線段(或直線)互相垂直。習慣上，我們以符號「⊥」來表示垂直。如圖㈠中，∠AOB為一直角，即表示BO與AO垂直，可把它記為「BO⊥AO」，讀作「BO垂直於AO」。同樣的，圖㈡中，直線L與直線M交角成90度(直角)，也可以記為「L⊥M」。互相垂直的兩線段(或直線)的交點稱為垂足，如圖㈠、圖㈡中的O點；而與一線段(或直線)垂直的直線稱為該線段(或直線)的垂線，如圖㈡中，直線M是直線L的垂線，也可以說，直線L是直線M的垂線。接著來討論線段與角的平分。在摺紙時，我們通常利用對摺的方法將圖形平分，如圖㈢，將AB對摺，使兩個端點A、

2、B疊合在一起，此時，N點將AB分成兩個等長的線段，即AN＝BN，我們就說N為AB的中點，也就是N點平分AB。而通過N點且與AB垂直的直線(摺線L)，就稱為AB的垂直平分線(或中垂線)。同樣的，我們也可以利用對摺的方式平分一個角，如圖㈣，將∠AOB對摺，使OA與OB疊合在一起，此時，摺線OE把∠AOB平分成兩個相等的角，也就是∠AOE＝∠BOE，我們就稱直線OE(或OE)為∠AOB的角平分線(或分角線)，也就是OE平分∠AOB。如右圖，已知AB⊥BC，BE平分∠ABD，BF平分∠CBD，則∠EBF＝？因為AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，又BE平分∠ABD，得∠D

3、BE＝　∠ABD，BF平分∠CBD，得∠DBF＝∠CBD，所以∠EBF＝∠DBE＋∠DBF＝(∠ABD＋∠CBD)＝∠ABC＝45°。如右圖，若A、O、B三點共線，且OD是∠AOC的角平分線，OE是∠BOC的角平分線，求∠DOE＝？因為A、O、B三點共線，所以∠AOB＝180°，OD是∠AOC的角平分線，得∠COD＝∠AOC，OE是∠BOC的角平分線，得∠COE＝∠BOC，所以∠DOE＝∠COD＋∠COE＝(∠AOC＋∠BOC)＝∠AOB＝90°剪紙不只是臺灣的傳統藝術，它也蘊含了數學知識呵！讓我們透過下面剪紙的圖案一起來探討線對稱圖形吧！將一個圖形沿著某一條直

4、線對摺，如果直線兩側的部分能完全重疊，這樣的圖形稱為線對稱圖形，而這條對摺線就稱為該圖形的對稱軸，疊合的點稱為對稱點，疊合的角稱為對稱角，疊合的線段稱為對稱線段。如圖㈤，拿出附件㈠，沿虛線將紙張對摺，並用剪刀沿著黑色線剪開，再將剪下來的圖形攤開，即得星形的線對稱圖形，如圖㈥。在圖㈥中，對摺線AF就是圖形的對稱軸。C點的對稱點是I點，D點的對稱點是H點；∠C的對稱角為∠I，∠E的對稱角為∠G；AB的對稱線段為AJ，CB的對稱線段為IJ等等。對稱軸對稱線段C點,I點為對稱點∠C,∠I為對稱角觀察下列圖形是不是線對稱圖形。如果是，請畫出它所有的對稱軸。⑴等腰三角形⑵正

5、方形⑶菱形⑷箏形⑴等腰三角形是線對稱圖形，有1條對稱軸。⑵正方形是線對稱圖形，有4條對稱軸。⑶菱形是線對稱圖形，有2條對稱軸。⑷箏形是線對稱圖形，有1條對稱軸。圓形是不是線對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？圓形是線對稱圖形，且每一條直徑都是對稱軸，所以圓形有無線多條對稱軸。畫出下列圖形的所有的對稱軸。⑴等腰梯形⑵長方形⑶正五邊形⑷正六邊形觀察前面附件㈠所剪下來的星形線對稱圖形，如圖㈦，並回答下列問題。⑴連接BJ、DH，分別與AF交於P、Q兩點，如圖㈦，則：①BP和JP相等嗎？②DQ和HQ相等嗎？③∠APB和∠APJ相等嗎？④∠AQD和∠AQH相等嗎？⑤∠1和∠2相

6、等嗎？⑵AF是否為BJ及DH的中垂線？⑶I、G分別是C、E的對稱點，若連接CE及IG，則IG是否為CE的對稱線段？相等。相等。相等。相等。相等。是。是。線對稱圖形的對稱軸必垂直平分任意兩對稱點連接的線段。從問題探索1我們知道，將圖㈦的對稱點連接起來的線段，如：BJ、DH，會與對稱軸AF互相垂直，且被對稱軸平分，即：圖㈦中，對稱軸AF上的點A、F，它們的對稱點各是哪個點？在對稱軸上的點，其對稱點即為本身，也就是A的對稱點為A，F的對稱點為F。由例題2可知，等腰三角形、正方形、菱形、箏形都是線對稱圖形。接下來，我們就來看看這些多邊形還有哪些對稱的性質？⑴等腰三角形：

7、如圖㈧，等腰△ABC中，CD為對稱軸，A、B為對稱點，所以CD垂直平分AB，且CD平分∠ACB，即CD⊥AB，AD＝BD，且∠1＝∠2。⑵正方形：如圖㈨，正方形ABCD中，BD為對稱軸，A、C為對稱點，所以BD垂直平分AC，即BD⊥AC，且OA＝OC；同樣的，因為AC也為對稱軸，B、D為對稱點，所以AC垂直平分BD，即AC⊥BD，且OB＝OD。⑶菱形：如圖㈩，菱形ABCD中，BD為對稱軸，A、C為對稱點，所以BD垂直平分AC，即BD⊥AC，且OA＝OC；同樣的，因為AC也為對稱軸，B、D為對稱點，所以AC垂直平分BD，即AC⊥BD，且OB＝OD。⑷箏形：如圖　，

8、箏形ABCD中，AC為對