数学分析17-1(可微性)

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1、第十七章多元函数微分学*二、全微分在数值计算中的应用应用一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束本节内容:一、全微分的定义第一节可微性二、偏导数三、可微性条件一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数

2、的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即二、偏导数定义及其计算法引例:研究弦在点x0处的振动速度与加速度,就是中的x固定于求一阶导数与二阶导数.x0处,关于t的机动目录上页下页返回结束将振幅定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数机动目录上页下页返回结束注意:同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为机动目录上页下

3、页返回结束或y偏导数存在,警告各位！偏导数的符号不能像一元函数那样将是一个整体记号，与的商。看成是若函数在点于变量x和y的偏导数均存在，则称在区域内的任处关函数在点处可偏导。若函数一点处均可偏导，则称函数在区域内可偏导。可以看出:定义时，实际上,是对函数变量y是不变的,,将y视为常数,关于变量x按一元函数导数的定义进行的。多元函数的偏导数的计算方法，没有任何技术性的新东西。求偏导数时，只要将n个自变量的求导方法进行计算。自变量均视为常数，然后按一元函数中的某一个看成变量,其余的n－1个求偏导数时，只要将

4、n个自变量的求导方法进行计算。自变量均视为常数，然后按一元函数中的某一个看成变量,其余的n－1个求偏导数时，只要将n个自变量中的某一个看成变量,其余的n－1个自变量均视为常数，然后按一元函数的求导方法进行计算。例如,三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数的概念可以推广到二元以上的函数.机动目录上页下页返回结束偏导数定义为(请自己写出)二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线机动目录上页下页返回结束对y轴的函数在某点各偏导数都存在,显然例

5、如,注意：但在该点不一定连续.上节例目录上页下页返回结束在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!例1.求解法1:解法2:在点(1,2)处的偏导数.机动目录上页下页返回结束例2.设证:例3.求的偏导数.解:求证机动目录上页下页返回结束定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束三、可微性条件反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可

6、微!即:机动目录上页下页返回结束定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是机动目录上页下页返回结束例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:机动目录上页下页返回结束可知当*四、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动

7、目录上页下页返回结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.机动目录上页下页返回结束求此圆柱体例4.计算的近似值.解:设,则取则机动目录上页下页返回结束分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计利用令z的绝对误差界约为z的相对误差界约为机动目录上页下页返回结束则特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动

8、目录上页下页返回结束例5.利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以S的相对误差约为计算三角形面积.现测得机动目录上页下页返回结束例6.在直流电路中,测得电压U=24伏,解:由欧姆定律可知(欧)所以R的相对误差约为0.3+0.5R的绝对误差约为0.80.3;定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为测得电流I=6安,相对误差为0.5,=0.032(欧)=0.8机动目录