模态分析与综合技术第5章有限元分析

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1、第5章有限元分析5.1引言每一种自然现象的背后都有相应的物理规律(万物皆规律)，对现象的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种代数的、微分的、或积分的方程，这些方程通常称为数学模型（控制方程）。对于很多的实际工程问题，推导并得到这些方程并不十分困难，却很难从这些方程中获得解析的数学解。对于这类实际工程问题的解决方案通常如下框图所示：工程中的问题(力学、物理等)各种方程及相应的定解条件(边界条件及初始条件)线性的、边界规则的问题数值分析法精确解近似解非线性的、边界不规则的问题解析法5.1引言第5章有限元分

2、析第5章有限元分析5.1引言对于稍微复杂的振动系统，想借助相关的定理或定律得到其代数的、微分的、或积分的方程几乎不可能，即想得到其控制方程很难。有限元分析(FEA)是利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。从而通过计算机得到其庞大的控制方程。第5章有限元分析5.1引言有限元方法(FEM)是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。对于复杂系统，人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答，

3、有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法，也是工程科学的重要工具，其重要性仅次于数学。第5章有限元分析几何体载荷物理系统拉伸热电磁5.2物理系统举例5.3有限元模型和离散方程建立真实系统有限元模型有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。有限元模型是真实系统离散化、理想化的数学抽象。第5章有限元分析1建模方法众所周知，一个连续体有无限多个自由度(属于无限维空间)，有限元方法则是将它转化成一个有限自由度(属于有限维空间)，建立有限元方程，求其近似解。由于利用了分片插值技术，

4、连续体(区域)的形状可以不受任何限制。而这一难题正是以前其他分析方法所难以克服的。建立有限元方程大体有三类方法：(1)直接方法(2)变分方法(3)加权残值法第5章有限元分析5.3有限元模型和离散方程建立2自由度、节点和单元自由度:用于描述一个物理场的响应特性。自由度数（DOFs）：描述系统位形需要的独立坐标数。（机械系统）结构位移热温度电电位流体压力磁磁位方向自由度结构自由度ROTZYROTYXROTXZ场变量：可以是标量，也可以是矢量。(最后处理的实际上都是标量)第5章有限元分析5.3有限元模型和离散

5、方程建立有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。节点单元载荷载荷第5章有限元分析2自由度、节点和单元5.3有限元模型和离散方程建立每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。信息是通过单元之间的公共节点传递的。即通过公共节点的协调条件来完成从单元到整体的转换。第5章有限元分析2自由度、节点和单元5.3有限元模型和离散方程建立具有公共节点的单元之间存在信息传递...AB...1node.分离但节点重叠的单元A和B之间没有信息传递

6、(需进行节点合并处理)....AB...2nodes第5章有限元分析2自由度、节点和单元5.3有限元模型和离散方程建立节点自由度是随连接该节点所在单元类型变化的。JI三维杆单元(铰接)UX,UY,UZJKLI二维或轴对称实体单元UX,UYPOMNKJIL三维实体热单元TEMPLKI三维四边形壳单元UX,UY,UZ,JROTX,ROTY,ROTZIJ三维梁单元ROTX,ROTY,ROTZUX,UY,UZ,POMNKJIL三维实体结构单元UX,UY,UZ第5章有限元分析2自由度、节点和单元5.3有限元模型和

7、离散方程建立※单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。因此，单元形函数提供了一种描述单元内部结果的“形状”。（假设模态）※单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。※单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。※FEA仅仅求解节点处的DOF值。第5章有限元分析3形函数5.3有限元模型和离散方程建立二次曲线的线性近似(不理想结果)节点真实的二次曲线.单元.二次近似(接近于真实的二次近似拟合)(最理想结果)节点单元..第5章有限元分析5.3有限元模型和离

8、散方程建立3形函数形函数的选取需遵循以下原则:DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况要吻合得很好。如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOF，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。当选择了某种单元类型时，也就十分确定地选择并接受该种单元类型所假定的单元形函数。第5章有限元分析5.3有限元模型和离散方程建立3形函数形函数的选取需遵循原则:在选定单元类型并随之确定了形函